Jeremias Nathanael Arf

• Partial differential equations (PDEs) play a crucial role in mathematics and physics to describe numerous physical processes. In numerical computations within the scope of PDE problems, the transition from classical to weak solutions is often meaningful. The latter may not precisely satisfy the original PDE, but they fulfill a weak variational formulation, which, in turn, is suitable for the discretization concept of Finite Elements (FE). A central concept in this context is the well-posed problem. A class of PDE problems for which not only well-posedness statements but also suitable weak formulations are known are the so-called abstract Hodge–Laplace problems. These can be derived from Hilbert complexes and constitute a central aspect of the Finite Element Exterior Calculus (FEEC). This thesis addresses the discretization of mixed formulations of Hodge-Laplace problems, focusing on two key aspects. Firstly, we utilize Isogeometric Analysis (IGA) as a specific paradigm for discretization, combining geometric representations with Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS) and Finite Element discretizations. Secondly, we primarily concentrate on mixed formulations exhibiting a saddle-point structure and generated from Hilbert complexes with second-order derivative operators. We go beyond the well-known case of the classical de Rham complex, considering complexes such as the Hessian or elasticity complex. The BGG (Bernstein–Gelfand–Gelfand) method is employed to define and examine these second-order complexes. The main results include proofs of discrete well-posedness and a priori error estimates for two different discretization approaches. One approach demonstrates, through the introduction of a Lagrange multiplier, how the so-called isogeometric discrete differential forms can be reused. A second method addresses the question of how standard NURBS basis functions, through a modification of the mixed formulation, can also lead to convergent procedures. Numerical tests and examples, conducted using MATLAB and the open-source software GeoPDEs, illustrate the theoretical findings. Our primary application extends to linear elasticity theory, extensively discussing mixed methods with and without strong symmetry of the stress tensor. The work demonstrates the potential of IGA in numerical computations, particularly in the challenging scenario of second-order Hilbert complexes. It also provides insights into how IGA and FEEC can be meaningfully combined, even for non-de Rham complexes.
• Partielle Differentialgleichungen (PDEs) spielen eine entscheidende Rolle in Mathematik und Physik, um zahlreiche physikalische Prozesse zu beschreiben. Bei numerischen Berechnungen im Rahmen von PDE-Problemen ist oft der Übergang von klassischen zu schwachen Lösungen sinnvoll. Letztere erfüllen möglicherweise nicht genau die ursprüngliche PDE, jedoch erfüllen sie eine schwache Variationsformulierung, die sich wiederum für das Diskretisierungskonzept der Finiten Elemente (FE) eignet. Ein zentraler Begriff in diesem Kontext ist das wohlgestellte Problem. Eine Klasse von PDE-Problemen, für die nicht nur Wohlgestelltheitsaussagen, sondern auch passende schwache Formulierungen bekannt sind, sind die sogenannten abstrakten Hodge–Laplace Probleme. Diese können aus Hilbertkomplexen abgeleitet werden und stellen einen zentralen Aspekt des Finite Element Exterior Calculus (FEEC) dar. Die vorliegende Arbeit setzt hier an und beschäftigt sich mit der Diskretisierung von gemischten Formulierungen von Hodge–Laplace-Problemen. Dabei liegt der Fokus auf zwei Punkten: Zum einen nutzen wir die Isogeometrische Analyse (IGA) als spezifisches Paradigma für die Diskretisierung, indem Geometriedarstellungen mit Nicht-Uniforme Rationale B-Splines (NURBS) und Finite-Elemente-Diskretisierungen kombiniert werden. Zum anderen konzentrieren wir uns hauptsächlich auf solche gemischten Formulierungen, die eine Sattelpunktstruktur aufweisen und aus Hilbertkomplexen mit Ableitungsoperatoren zweiter Ordnung generiert werden. Insbesondere gehen wir über den bekannten Fall der klassischen de Rham-Kette hinaus und betrachten beispielsweise den Hessian- oder Elastizitätskomplex. Zur Definition und Untersuchung der Komplexe zweiter Ordnung nutzen wir das Bernstein–Gelfand–Gelfand-Verfahren (BGG). Die Hauptergebnisse umfassen Beweise für diskrete Wohlgestelltheit und a-priori-Fehlerabschätzungen von zwei verschiedenen Diskretisierungsansätzen. Ein Ansatz zeigt durch die Einführung eines Lagrange-Multiplikators, wie die sogenannten isogeometrischen diskreten Differentialformen wiederverwendet werden können. Eine zweite Methode geht der Frage nach, wie standardmäßige NURBS-Basisfunktionen durch eine Modifikation der gemischten Formulierung ebenfalls zu konvergierenden Verfahren führen können. Numerische Tests und Beispiele, durchgeführt mit MATLAB und der Open-Source-Software GeoPDEs, veranschaulichen die theoretischen Ergebnisse. Unsere Hauptanwendung erstreckt sich auf die lineare Elastizitätstheorie, wobei gemischte Methoden mit und ohne starke Symmetrie des Spannungstensors ausführlich diskutiert werden. Die Arbeit demonstriert das Potential von IGA bei numerischen Berechnungen im Rahmen des anspruchsvollen Falls von Hilbertkomplexen zweiter Ordnung. Zudem zeigt sie Zugänge auf, wie IGA und FEEC auch für nicht-de-Rham-Komplexe sinnvoll zu kombinieren sind.