An Alternative Approach to the Oblique Derivative Problem in Potential Theory

Ein alternativer Ansatz für das Problem der schiefachsigen Ableitungen in der Potentialtheorie

  • Nowadays one of the major objectives in geosciences is the determination of the gravitational field of our planet, the Earth. A precise knowledge of this quantity is not just interesting on its own but it is indeed a key point for a vast number of applications. The important question is how to obtain a good model for the gravitational field on a global scale. The only applicable solution - both in costs and data coverage - is the usage of satellite data. We concentrate on highly precise measurements which will be obtained by GOCE (Gravity Field and Steady State Ocean Circulation Explorer, launch expected 2006). This satellite has a gradiometer onboard which returns the second derivatives of the gravitational potential. Mathematically seen we have to deal with several obstacles. The first one is that the noise in the different components of these second derivatives differs over several orders of magnitude, i.e. a straightforward solution of this outer boundary value problem will not work properly. Furthermore we are not interested in the data at satellite height but we want to know the field at the Earth's surface, thus we need a regularization (downward-continuation) of the data. These two problems are tackled in the thesis and are now described briefly. Split Operators: We have to solve an outer boundary value problem at the height of the satellite track. Classically one can handle first order side conditions which are not tangential to the surface and second derivatives pointing in the radial direction employing integral and pseudo differential equation methods. We present a different approach: We classify all first and purely second order operators which fulfill that a harmonic function stays harmonic under their application. This task is done by using modern algebraic methods for solving systems of partial differential equations symbolically. Now we can look at the problem with oblique side conditions as if we had ordinary i.e. non-derived side conditions. The only additional work which has to be done is an inversion of the differential operator, i.e. integration. In particular we are capable to deal with derivatives which are tangential to the boundary. Auto-Regularization: The second obstacle is finding a proper regularization procedure. This is complicated by the fact that we are facing stochastic rather than deterministic noise. The main question is how to find an optimal regularization parameter which is impossible without any additional knowledge. However we could show that with a very limited number of additional information, which are obtainable also in practice, we can regularize in an asymptotically optimal way. In particular we showed that the knowledge of two input data sets allows an order optimal regularization procedure even under the hard conditions of Gaussian white noise and an exponentially ill-posed problem. A last but rather simple task is combining data from different derivatives which can be done by a weighted least squares approach using the information we obtained out of the regularization procedure. A practical application to the downward-continuation problem for simulated gravitational data is shown.
  • Einer der Hauptaugenmerke in der modernen Geodäsie gilt der Bestimmung des Gravitationsfeldes unseres Planeten, der Erde. Eine präzise Kenntnis dieser Größe ist nicht nur für sich alleine betrachtet interessant, sondern darüber hinaus eine Basis für viele weitere Anwendungen. Die wichtige Frage, die sich stellt, ist wie man ein gutes globales Modell für das Gravitationsfeld erlangen kann. Die einzige brauchbare Lösung - sowohl unter dem Kostenaspekt als auch unter dem Gesichtspunkt einer hinreichenden Datenabdeckung - ist die Nutzung von Satellitendaten. Wir konzentrieren uns auf die hochgenauen Messungen der Satellitenmission GOCE (Gravity Field and Steady State Ocean Circulation Explorer, Start vermutlich 2006). Dieser Satellit hat ein Gradiometer an Bord, das die zweiten Ableitungen des Gravitationspotentials misst. Mathematisch gesehen müssen wir eine Vielzahl von Hürden nehmen. Die erste ist eine Variation des Rauschniveaus für die verschiedenen Ableitungskomponenten über mehrere Größenordnungen, d.h. insbesondere, dass der am einfachsten ersichtliche Lösungsansatz für das zugehörige äußere Randwertproblem zum Scheitern verurteilt ist. Darüber hinaus sind wir nicht an den Daten auf Satellitenhöhe interessiert, sondern wollen das Feld auf Höhe der Erdoberfläche wissen. Somit müssen wir harmonisch nach unten fortsetzen, also regularisieren. Diese beiden Probleme werden in der vorliegenden Dissertation angepackt. Split-Operatoren: Wir müssen ein äußeres Randwertproblem auf Satellitenhöhe lösen. Klassisch kann man nur mit Randbedingungen erster Ordnung, die nicht tangential zur Oberfläche sind, und mit zweiten Ableitungen, die in die Radialrichtung zeigen, umgehen. Hierbei werden Integralgleichungs- und Pseudodifferentialgleichungsmethoden benutzt. Wir stellen einen alternativen Ansatz vor: Wir klassifizieren alle ersten und reinen zweiten Ableitungen welche eine einfache Eigenschaft erfüllen, nämlich dass harmonische Funktionen unter ihrer Anwendung harmonisch bleiben. Diese Aufgabe wird unter Zuhilfenahme moderner algebraischer Methoden zur symbolischen Lösung von Systemen partieller Differentialgleichungen gelöst. Somit können wir ein Problem mit schiefachsigen Randableitungen so betrachten als ob wir Standardrandbedingungen hätten. Die einzige zusätzliche Arbeit entsteht durch die Inversion des Differentialoperators, d.h. Integration. Insbesondere sind wir in der Lage mit tangentialen Randableitungen umzugehen. Auto-Regularisierung: Ferner brauchen wir eine gut funktionierende Regularisierungsmethode. Dies wird dadurch kompliziert, dass wir es anstatt mit deterministischem mit stochastischem Fehler in unseren Daten zu tun haben. Der Schlüssel ist nun das Finden einer Methode zur Bestimmung des optimalen Regularisierungsparameters, was ohne zusätzliches Wissen prinzipiell unmöglich ist. Nichtsdestotrotz konnten wir zeigen, dass man mit einer äußerst geringen Anzahl von zusätzlichen Informationen, welche in der Praxis messbar sind, asymptotisch optimal regularisieren kann. Insbesondere haben wir gezeigt, dass die Kenntnis von zwei verschiedenen Messungen ausreicht, selbst unter den erschwerten Bedingungen weißen Rauschens und eines exponentiell schlecht gestellten Problems eine ordnungsoptimale Regularisierung zu erreichen. Eine weitere aber relativ einfache Aufgabe ist die Kombination von Daten verschiedener Ableitungen was sich ohne weiteres durch einen gewichteten Kleinste-Quadrate-Ansatz bewerkstelligen lässt. Darüberhinaus stellen wir eine praktische Anwendung, die Regularisierung simulierter Gravitationsdaten, vor.

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Metadaten
Author:Frank Bauer
URN (permanent link):urn:nbn:de:hbz:386-kluedo-17802
ISBN:3-8322-3299-0
Advisor:Willi Freeden
Document Type:Doctoral Thesis
Language of publication:English
Year of Completion:2004
Year of Publication:2004
Publishing Institute:Technische Universität Kaiserslautern
Granting Institute:Technische Universität Kaiserslautern
Acceptance Date of the Thesis:2004/09/08
Tag:Regularisierung / Stoppkriterium ; Splitoperator
Boundary Value Problem / Oblique Derivative ; Inverse Problem ; Regularization / Stop criterion; Split Operator ; White Noise
GND-Keyword:Gravitationsfeld ; Inverses Problem ; Randwertproblem / Schiefe Ableitung ; Regularisierung; Weißes Rauschen
Faculties / Organisational entities:Fachbereich Mathematik
DDC-Cassification:510 Mathematik
MSC-Classification (mathematics):31B20 Boundary value and inverse problems
35J25 Boundary value problems for second-order elliptic equations
47A52 Ill-posed problems, regularization [See also 35R25, 47J06, 65F22, 65J20, 65L08, 65M30, 65R30]
65N21 Inverse problems
65N99 None of the above, but in this section

$Rev: 12793 $