Parveena Shamim Abdul Salam

• Understanding human crowd behaviour has been an intriguing topic of interdisciplinary research in recent decades. Modelling of crowd dynamics using differential equations is an indispensable approach to unraveling the various complex dynamics involved in such interacting particle systems. Numerical simulation of pedestrian crowd via these mathematical models allows us to study different realistic scenarios beyond the limitations of studies via controlled experiments. In this thesis, the main objective is to understand and analyse the dynamics in a domain shared by both pedestrians and moving obstacles. We model pedestrian motion by combining the social force concept with the idea of optimal path computation. This leads to a system of ordinary differential equations governing the dynamics of individual pedestrians via the interaction forces (social forces) between them. Additionally, a non-local force term involving the optimal path and desired velocity governs the pedestrian trajectory. The optimal path computation involves solving a time-independent Eikonal equation, which is coupled to the system of ODEs. A hydrodynamic model is developed from this microscopic model via the mean-field limit. To consider the interaction with moving obstacles in the domain, we model a set of kinematic equations for the obstacle motion. Two kinds of obstacles are considered - "passive", which move in their predefined trajectories and have only a one-way interaction with pedestrians, and "dynamic", which have a feedback interaction with pedestrians and have their trajectories changing dynamically. The coupled model of pedestrians and obstacles is used to discern pedestrian collision avoidance behaviour in different computational scenarios in a long rectangular domain. We observe that pedestrians avoid collisions through route choice strategies that involve changes in speed and path. We extend this model to consider the interaction between pedestrians and vehicular traffic. We appropriately model the interactions of vehicles, following lane traffic, based on the car-following approach. We observe how the deceleration and braking mechanism of vehicles is executed at pedestrian crossings depending on the right of way on the roads. As a second objective, we study the disease contagion in moving crowds. We consider the influence of the crowd motion in a complex dynamical environment on the course of infection of pedestrians. A hydrodynamic model for multi-group pedestrian flow is derived from the kinetic equations based on a social force model. It is coupled along with an Eikonal equation to a non-local SEIS contagion model for disease spread. Here, apart from the description of local contacts, the influence of contact times has also been modelled. We observe that the nature of the flow and the geometry of the domain lead to changes in density which affect the contact time and, consequently, the rate of spread of infection. Finally, the social force model is compared to a variable speed based rational behaviour pedestrian model. We derive a hierarchy of the heuristics-based model from microscopic to macroscopic scales and numerically investigate these models in different density scenarios. Various numerical test cases are considered, including uni- and bi-directional flows and scenarios with and without obstacles. We observe that in low-density scenarios, collision avoidance forces arising from the behavioural heuristics give valid results. Whereas in high-density scenarios, repulsive force terms are essential. The numerical simulations of all the models are carried out using a mesh-free particle method based on least square approximations. The meshfree numerical framework provides an efficient and elegant way to handle complex geometric situations involving boundaries and stationary or moving obstacles.
• Das Verhalten von Menschenmengen zu verstehen, war in den letzten Jahrzehnten ein wichtiges Thema der interdisziplinären Forschung. Die Modellierung der Dynamik von Menschenmengen mit Hilfe von Differentialgleichungen ist ein wesentlicher Ansatz, um die verschiedenen komplexen Dynamiken zu entschlüsseln, die an solchen interagierenden Teilchensystemen beteiligt sind. Die numerische Simulation von Fußgängerströmen mit Hilfe dieser mathematischen Modelle ermöglicht es uns, verschiedene realistische Szenarien zu untersuchen, die über die Grenzen von Studien mit kontrollierten Experimenten hinausgehen. In dieser Arbeit geht es in erster Linie darum, die Dynamik in einem Gebiet zu verstehen und zu analysieren, das sowohl von Fußgängern als auch von sich bewegenden Hindernissen genutzt wird. Wir modellieren die Bewegung von Fußgängern, indem wir das Konzept der sozialen Kräfte mit der Idee der optimalen Pfadberechnung kombinieren. Dies führt zu einem System gewöhnlicher Differentialgleichungen, das die Dynamik der einzelnen Fußgänger über die Interaktionskräfte (soziale Kräfte) zwischen ihnen steuert. Zusätzlich regelt ein nichtlokaler Kraftterm, der den optimalen Pfad und die gewünschte Geschwindigkeit einbezieht, die Trajektorie des Fußgängers. Die Berechnung des optimalen Pfades beinhaltet die Lösung einer zeitunabhängigen Eikonal-Gleichung, die mit dem System der gewöhnlichen Differentialgleichungen gekoppelt ist. Aus diesem mikroskopischen Modell wird über das Mean-Field-Limit ein hydrodynamisches Modell entwickelt. Um die Interaktion mit beweglichen Hindernissen im Gebiet zu berücksichtigen, modellieren wir die Bewegung der Hindernisse mit einer Reihe kinematischer Gleichungen. Es werden zwei Arten von Hindernissen betrachtet: „passive“, die sich auf ihren vordefinierten Bahnen bewegen und nur in eine Richtung mit den Fußgängern interagieren, und „dynamische“, die eine Rückkopplung mit den Fußgängern haben und deren Bahnen sich dynamisch ändern. Das gekoppelte Modell von Fußgängern und Hindernissen wird verwendet, um das Kollisionsvermeidungsverhalten von Fußgängern in verschiedenen Berechnungsszenarien in einem langen rechteckigen Gebiet zu untersuchen. Wir beobachten, dass Fußgänger Kollisionen durch Routenwahlstrategien vermeiden, indem sie die Geschwindigkeit und den Weg ändern. Wir erweitern dieses Modell, um die Interaktion zwischen Fußgängern und Fahrzeugverkehr zu berücksichtigen. Wir modellieren die Interaktionen von Fahrzeugen, die dem Verkehr auf der Fahrbahn folgen, auf der Grundlage des Car-Following-Ansatzes. Wir beobachten, wie die Verzögerungs- und Bremsmechanismen der Fahrzeuge an Fußgängerüberwegen je nach Vorfahrtsregelung auf den Straßen ausgeführt werden. Als zweite Anwendung untersuchen wir die Ansteckung von Krankheiten in sich bewegenden Menschenmengen. Wir untersuchen den Einfluss der Bewegung der Menschenmenge in einer komplexen dynamischen Umgebung auf den Verlauf der Ansteckung von Fußgängern. Aus den kinetischen Gleichungen, die auf einem sozialen Kraftmodell basieren, wird ein hydrodynamisches Modell für den Fluss von Fußgängern in mehreren Gruppen abgeleitet. Es wird zusammen mit einer Eikonal-Gleichung an ein nicht-lokales SEIS-Ansteckungsmodell für die Krankheitsausbreitung gekoppelt. Hier wurde neben der Beschreibung lokaler Kontakte auch der Einfluss von Kontaktzeiten modelliert. Wir stellen fest, dass die Art der Strömung und die Geometrie des Gebiets zu einer Änderung der Dichte führen, die sich auf die Kontaktzeit und folglich auf die Ausbreitungsrate der Infektion auswirkt. Abschließend wird das Modell der sozialen Kräfte mit einem auf variabler Geschwindigkeit basierenden Modell für rationales Verhalten von Fußgängern verglichen. Wir leiten eine Hierarchie des auf Heuristiken basierenden Modells von mikroskopischen zu makroskopischen Skalen ab und untersuchen diese Modelle numerisch in verschiedenen Dichteszenarien. Es werden verschiedene numerische Testfälle betrachtet, darunter uni- und bidirektionale Strömungen sowie Szenarien mit und ohne Hindernissen. Wir stellen fest, dass in Szenarien mit geringer Dichte die aus den Verhaltensheuristiken resultierenden Kollisionsvermeidungskräfte sinnvolle Ergebnisse liefern. In Szenarien mit hoher Dichte sind abstoßende Kräfte jedoch unerlässlich. Die numerischen Simulationen aller Modelle werden mit einer gitterfreien Partikelmethode auf der Grundlage von Kleinste-Quadrate-Näherungen durchgeführt. Der gitterfreie numerische Rahmen bietet eine effiziente und elegante Möglichkeit, komplexe geometrische Situationen mit Begrenzungen und stationären oder beweglichen Hindernissen zu behandeln.