Marek Oheim

• The aim of this thesis is to introduce an equilibrium insurance market model and study its properties and possible applications in risk class management. First, an insurance market model based on an equilibrium approach is developed. Depending on the premium, the insured will choose the amount of coverage they buy in order to maximize their expected utility. The behavior of the insurer in different market regimes is then compared. While the premiums in markets with perfect competition are calculated in order to make no profit at all, insurers try to maximize their margins in a monopolistic market. In markets modeled in this way several phenomena become evident. Perhaps the most important one is the so-called push-out effect. When customers with different attributes are insured together, insurance might become so expensive for one type of customers that those agents are better off with buying no insurance at all. The push-out effect was already shown for theoretical examples in the literature. We present a comprehensive analysis of the equilibrium insurance market model and the push-out effect for different insurance products such as life, health and disability insurance contracts using real-life data from different sources. In a concluding chapter we formulate indicators when a push-out can be expected and when not. Machine learning regression approaches such as neural networks have gained vast popularity in recent years. The exponential growth of computing power has enabled larger and more evolved networks that can perform increasingly complex tasks. In our feasibility study about the use of neural networks in the regression of equilibrium insurance premiums it is shown that this regression is quite robust and the risk of overfitting can almost be excluded -- as long as the regression is performed on at least a few thousand data points. Grouping customers of different risk types into contracts is important for the stability and the robustness of an insurance market. This motivates the study of the optimal assignment of risk classes into contracts, also known as rating classes. We provide a theoretical framework that makes use of techniques from different mathematical fields such as non-linear optimization, convex analysis, herding theory, game theory and combinatorics. In addition, we are able to show that the market specifications have a large impact on the optimal allocation of risk classes to contracts by the insurer. However, there does not need to be an optimal risk class assignment for each of these specifications. To address this issue, we present two different approaches, one more theoretical and another that can easily be implemented in practice. An extension of our model to markets with capacity constraints rounds off the topic and extends the applicability of our approach.
• Ziel dieser Arbeit ist die Einführung eines Gleichgewichtsmodells zur Prämienberechnung in Versicherungsmärkten und dessen Eigenschaften sowie mögliche Anwendungen auf das Risikoklassenmanagement zu untersuchen. Zunächst wird ein Versicherungsmarktmodell entwickelt, das auf einem Gleichgewichtsansatz basiert. Abhängig von der Prämie wählen die Versicherten die Höhe der Versicherung die sie kaufen, um ihren erwarteten Nutzen zu maximieren. Anschließend wird das Verhalten der Versicherer in verschiedenen Marktregimen verglichen. Während die Prämien in Märkten mit vollständigem Wettbewerb so kalkuliert werden, dass sie keinerlei Gewinn machen, versuchen die Versicherer in einem monopolistischen Markt ihre Gewinnmargen zu maximieren. In den so modellierten Märkten zeigen sich verschiedene Phänomene. Das vielleicht wichtigste ist der so genannte Push-Out-Effekt. Wenn Kunden mit unterschiedlichen Merkmalen gemeinsam versichert werden, kann die Versicherung für eine Art von Kunden so teuer werden, dass es für sie besser ist, überhaupt keine Versicherung abzuschließen. Der Push-Out-Effekt wurde in der Literatur bereits in theoretischen Beispielen gezeigt. Wir präsentieren eine umfassende Analyse von Versicherungsmärkten mit Gleichgewichtsmodells und untersuchen den Push-Out-Effekts für verschiedene Versicherungsprodukte wie Lebens-, Kranken- und Berufsunfähigkeitsversicherungen unter Verwendung realer Daten aus verschiedenen Quellen. Darüber hinaus formulieren wir Indikatoren, wann ein Push-Out zu erwarten ist und wann nicht. Regressionsansätze des maschinellen Lernens wie neuronale Netze haben in den letzten Jahren stark an Popularität gewonnen. Das exponentielle Wachstum der Rechenleistung ermöglicht größere und besser entwickelte Netzwerke, die immer komplexere Aufgaben erfüllen können. In unserer Machbarkeitsstudie über den Einsatz neuronaler Netze bei der Regression von Versicherungsprämien in unserem Gleichgewichtsmodell zeigt sich, dass diese Regression recht robust ist und das Risiko von Overfitting annähernd ausgeschlossen werden kann -- zumindest solange man einige tausend Datenpunkte für die Regression berechnet. Die Gruppierung von Kunden unterschiedlicher Risikotypen in Verträgen ist wichtig für die Stabilität und Robustheit eines Versicherungsmarktes. Dies motiviert die Untersuchung der optimalen Zuordnung von Risikoklassen zu Verträ- gen, auch bekannt als Ratingklassen. Wir liefern ein theoretisches Rahmenwerk, das sich Techniken aus verschiedenen mathematischen Bereichen wie nicht-linearer Optimierung, konvexer Analysis, Herdenverhalten, Spieltheorie und Kombinatorik zunutze macht. Darüber hinaus können wir zeigen, dass die Marktspezifikationen einen großen Einfluss auf die optimale Zuordnung der Risikoklassen in die Verträge durch den Versicherer haben. Es lässt sich zeigen, dass es nicht für jede dieser Spezifikationen eine optimale Risikoklassenzuordnung geben muss. Um dieses Problem zu beheben, stellen wir zwei verschiedene Ansätze vor, einen eher theoretischen und einen weiteren, der in der Praxis leicht umgesetzt werden kann. Eine Erweiterung unseres Modells auf Märkte mit Kapazitätsbeschränkungen rundet das Thema ab und erweitern den praktischen Nutzen unseres Ansatzes.