Laura Voggesberger

• In group theory, a big and important family of infinite groups is given by the algebraic groups. These groups and their structures are already well-understood. In representation theory, the study of the unipotent variety in algebraic groups - and by extension the study of the nilpotent variety in the associated Lie algebra - is of particular interest. Let \( G \) be a connected reductive algebraic group over an algebraically closed field \(\mathbf{k}\), and let \(\operatorname{Lie}(G)\) be its associated Lie algebra. By now, the orbits in the nilpotent and unipotent variety under the action of \(G\) are completely known and can be found for example in a book of Liebeck and Seitz. There exists, however, no uniform description of these orbits that holds in both good and bad characteristic. With this in mind, Lusztig defined a partition of the unipotent variety of \(G\) in 2011. Equivalently, one can consider certain subsets of the nilpotent variety of \(\operatorname{Lie}(G)\) called the nilpotent pieces. This approach appears in the same paper by Lusztig in which he explicitly determines the nilpotent pieces for simple algebraic groups of classical type. The nilpotent pieces for the exceptional groups of type \(G_2, F_4, E_6, E_7,\) and \(E_8\) in bad characteristic have not yet been determined. This thesis gives an introduction to the definition of the nilpotent pieces and presents a solution to this problem for groups of type \(G_2, F_4, E_6\), and partly for \(E_7\). The solution relies heavily on computational work which we elaborate on in later chapters.
• In der Gruppentheorie bilden sogenannte algebraische Gruppen eine große und wichtige Familie von unendlichen Gruppen. Algebraische Gruppen und ihre Strukturen sind in der Vergangenheit bereits sehr ausführlich untersucht worden. Insbesondere die Struktur der unipotenten Varietät - und damit der nilpotenten Varietät in der asoziierten Lie-Algebra - ist von großem Interesse in der Darstellungstheorie. Sei \( G \) eine zusammenhängende reduktive algebraische Gruppe über einem algebraisch abgeschlossenem Körper \(\mathbf{k}\). Sei weiterhin \(\operatorname{Lie}(G)\) die zu \( G \) asoziierte Lie-Algebra. Zum jetzigen Zeitpunkt sind alle unipotenten und nilpotenten Bahnen unter der Operation einer algebraischen Gruppe bekannt. Diese sind beispielsweise ausführlich in dem Werk von Liebeck und Seitz beschrieben. Allerdings gibt es keine uniforme Beschreibung der Bahnen, die sowohl in guter als auch in schlechter Charakteristik gilt. In Betracht dieser Tatsache definierte Lusztig in 2011 eine Partition der unipotenten Varietät von \( G \). Es ist möglich, stattdessen auch bestimmte Teilmengen der nilpotenten Varietät von \(\operatorname{Lie}(G)\) zu betrachten, welche die „nilpotenten pieces“ genannt werden. Auch dieser Ansatz wird von Lusztig beschrieben. In demselben Artikel bestimmt Lusztig außerdem die nilpotenten pieces für die klassischen algebraischen Gruppen. In den exzeptionellen Gruppen vom Typ \(G_2, F_4, E_6, E_7\) und \(E_8\) müssen die nilpotenten pieces noch bestimmt werden. Diese Dissertation gibt eine Einführung in die Definition der nilpotenten pieces und stellt eine Lösung für Gruppen vom Typ \(G_2, F_4, E_6\) und teilweise \(E_7\) vor. Die Lösung hängt großteils von programmiertechnischen Verfahren ab, welche in späteren Kapiteln beleuchtet werden.