Semiklassische Phasenraumpropagatoren

  • Die Untersuchung von semiklassischen Näherungen des Zeitentwicklungsoperators in der Quantenmechanik ist sowohl von fundamentalem als auch von didaktischem Interesse. Das fundamentale Interesse ist in der Beschreibung des Zusammenhangs zwischen klassischer Mechanik und Quantenmechanik begründet, das didaktische erklärt sich aus dem anschaulichen Zugang, den die Beschreibung von quantenmechanischen Prozessen durch klassische Größen liefert. Besonders klar wird dieser Zusammenhang, wenn eine Phasenraumdarstellung der Quantenmechanik betrachtet wird. Eine erste semiklassische Näherung für den Propagator im Phasenraum, den sogenannten "coherent state"-Propagator, wurde von Klauder vorgestellt. Weissman motivierte diese Näherung durch die Erweiterung der semiklassischen Korrespondenzrelationen auf den Begriff der kohärenten Variablen. In späteren Veröffentlichungen wird auf eine rigorose Herleitung mittels Pfadintegralmethoden verwiesen, die aber bis zum heutigen Tage nicht verwirklicht wurde. Ein zentraler Punkt dieser Arbeit wird es sein, zum ersten Mal diese alternative Herleitung vollständig zu präsentieren. Die Eigenschaften der semiklassischen Näherung des Phasenraumpropagators wurden für eine Reihe fundamentaler Quantenprozesse untersucht. Ausgehend von der semiklassischen Näherung des Phasenraumpropagators ergibt sich durch eine Ortsraumdarstellung desselben der Herman-Kluk-Propagator. Dieser gehört zur Klasse der Anfangswertdarstellungen ("initial value representations", IVRs), die die sonst bei semiklassischen Näherungen auftretenden Schwierigkeiten wie Kaustiken, Singularitäten und beidseitige Randbedingungen für die zugrundeliegenden klassischen Bahnen umgehen. Dies erlaubt ihre Anwendung auch auf Quantensysteme, deren klassisches Äquivalent chaotische Phasenraumbereiche enthält. Erste Untersuchungen hierzu wurden in unserer Arbeitsgruppe Ende 1997 durchgeführt. Die Frage nach der Klärung grundsätzlicher Eigenschaften des verwendeten Propagators und der verwendeten Methode sowie die Beleuchtung des theoretischen Hintegrunds lieferten die Anregung für diese Arbeit. Zu dieser Arbeit: In dieser Arbeit wird die semiklassische Näherung für den Phasenraumpropagator und hierauf aufbauend der Herman-Kluk-Propagator hergeleitet und ihre Eigenschaften untersucht. Im einzelnen gliedert sich die Arbeit folgendermaßen: In einem ersten, einführenden Kapitel werden kurz die grundlegenden Begriffe aus den drei Gebieten der klassischen Mechanik, der Quantenmechanik und der Semiklassik erläutert. Das zweite Kapitel gibt einen Überblick über die semiklassische Theorie nach Miller und Weissman. Der zentrale Begriff ist hierbei der der Korrespondenzrelation, der einen direkten Zusammenhang zwischen klassischen Größen (erzeugenden Funtionen) und unitären Transformationen in der Quantenmechanik liefert. Ein Spezialfall dieser Korrespondenz ist der Zusammenhang zwischen der Zeitentwicklung eines quantenmechanischen kohärenten Zustands und der Evolution klassischer Bahnen. Im zentralen dritten Abschnitt wird erstmalig eine vollständige Herleitung des Phasenraumpropagators mittels Pfadintegralmethoden gegeben. Aus dieser Herleitung wird klar, daß eines der Probleme der Semiklassik in der Frage liegt, welche Hamiltonfunktion einem gegebenen Hamiltonoperator zuzuordnen ist. Auch der durch die semiklassischen Näherung eingeführte Fehler wird diskutiert. Anschließend wird aus dem "coherent state"-Propagator der Herman-Kluk-Propagator hergeleitet und dessen Eigenschaften besprochen. Das vierte Kapitel beschreibt in Vorgriff auf den letzten Abschnitt die numerische Implementierung des Herman-Kluk-Propagators und verschiedene Methoden zur Gewinnung von Energieeigenwerten eines Quantensystems. Hierzu wird eine phasenraumsensitive Integrationsroutine vorgestellt. Abschließend werden die Ergebnisse der numerischen Anwendung des Propagators auf verschiedene, charakteristische Quantensysteme vorgestellt und sowohl mit der exakten Quantenmechanik, als auch mit anderen semiklassischen Methoden verglichen. Dabei werden sowohl die Stärken, als auch die Schwächen dieser Methode deutlich werden.

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Metadaten
Author:Frank Keck
URN (permanent link):urn:nbn:de:hbz:386-kluedo-11011
Document Type:Master's Thesis
Language of publication:German
Year of Completion:1999
Year of Publication:1999
Publishing Institute:Technische Universität Kaiserslautern
Granting Institute:Technische Universität Kaiserslautern
Tag:Herman-Kluk-Propagator ; Semiklassik ; coherent-state-propagator ; semiklassische Methoden ; semiklassische Propagatoren
Faculties / Organisational entities:Fachbereich Physik
DDC-Cassification:530 Physik

$Rev: 12793 $