Kaiserslautern - Fachbereich Mathematik
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Das zinsoptimierte Schuldenmanagement hat zum Ziel, eine möglichst effiziente Abwägung zwischen den erwarteten Finanzierungskosten einerseits und den Risiken für den Staatshaushalt andererseits zu finden. Um sich diesem Spannungsfeld zu nähern, schlagen wir erstmals die Brücke zwischen den Problemstellungen des Schuldenmanagements und den Methoden der zeitkontinuierlichen, dynamischen Portfoliooptimierung.
Das Schlüsselelement ist dabei eine neue Metrik zur Messung der Finanzierungskosten, die Perpetualkosten. Diese spiegeln die durchschnittlichen zukünftigen Finanzierungskosten wider und beinhalten sowohl die bereits bekannten Zinszahlungen als auch die noch unbekannten Kosten für notwendige Anschlussfinanzierungen. Daher repräsentiert die Volatilität der Perpetualkosten auch das Risiko einer bestimmten Strategie; je langfristiger eine Finanzierung ist, desto kleiner ist die Schwankungsbreite der Perpetualkosten.
Die Perpetualkosten ergeben sich als Produkt aus dem Barwert eines Schuldenportfolios und aus der vom Portfolio unabhängigen Perpetualrate. Für die Modellierung des Barwertes greifen wir auf das aus der dynamischen Portfoliooptimierung bekannte Konzept eines selbstfinanzierenden Bondportfolios zurück, das hier auf einem mehrdimensionalen affin-linearen Zinsmodell basiert. Das Wachstum des Schuldenportfolios wird dabei durch die Einbeziehung des Primärüberschusses des Staates gebremst bzw. verhindert, indem wir diesen als externen Zufluss in das selbstfinanzierende Modell aufnehmen.
Wegen der Vielfältigkeit möglicher Finanzierungsinstrumente wählen wir nicht deren Wertanteile als Kontrollvariable, sondern kontrollieren die Sensitivitäten des Portfolios gegenüber verschiedenen Zinsbewegungen. Aus optimalen Sensitivitäten können in einem nachgelagerten Schritt dann optimale Wertanteile für verschiedenste Finanzierungsinstrumente abgeleitet werden. Beispielhaft demonstrieren wir dies mittels Rolling-Horizon-Bonds unterschiedlicher Laufzeit.
Schließlich lösen wir zwei Optimierungsprobleme mit Methoden der stochastischen Kontrolltheorie. Dabei wird stets der erwartete Nutzen der Perpetualkosten maximiert. Die Nutzenfunktionen sind jeweils an das Schuldenmanagement angepasst und zeichnen sich insbesondere dadurch aus, dass höhere Kosten mit einem niedrigeren Nutzen einhergehen. Im ersten Problem betrachten wir eine Potenznutzenfunktion mit konstanter relativer Risikoaversion, im zweiten wählen wir eine Nutzenfunktion, welche die Einhaltung einer vorgegebenen Schulden- bzw. Kostenobergrenze garantiert.
Die Dissertation "Portfoliooptimierung im Binomialmodell" befasst sich mit der Frage, inwieweit
das Problem der optimalen Portfolioauswahl im Binomialmodell lösbar ist bzw. inwieweit
die Ergebnisse auf das stetige Modell übertragbar sind. Dabei werden neben dem
klassischen Modell ohne Kosten und ohne Veränderung der Marktsituation auch Modellerweiterungen
untersucht.
Diese Dissertation besteht aus zwei aktuellen Themen im Bereich Finanzmathematik, die voneinander unabhängig sind.
Beim ersten Thema, "Flexible Algorithmen zur Bewertung komplexer Optionen mit mehreren Eigenschaften mittels der funktionalen Programmiersprache Haskell", handelt es sich um ein interdisziplinäres Projekt, in dem eine wissenschaftliche Brücke zwischen der Optionsbewertung und der funktionalen Programmierung geschlagen wurde.
Im diesem Projekt wurde eine funktionale Bibliothek zur Konstruktion von Optionen
entworfen, in dem es eine Reihe von grundlegenden Konstruktoren gibt, mit denen
man verschiedene Optionen kombinieren kann. Im Rahmen der funktionalen Bibliothek
wurde ein allgemeiner Algorithmus entwickelt, durch den die aus den Konstruktoren
kombinierten Optionen bewertet werden können.
Der mathematische Aspekt des Projekts besteht in der Entwicklung eines neuen Konzeptes zur Bewertung der Optionen. Dieses Konzept basiert auf dem Binomialmodell, welches in den letzten Jahren eine weite Verbreitung im Forschungsgebiet der Optionsbewertung fand. Der kerne Algorithmus des Konzeptes ist eine Kombination von mehreren
sorgfältig ausgewählten numerischen Methoden in Bezug auf den Binomialbaum. Diese
Kombination ist nicht trivial, sondern entwikelt sich nach bestimmten Regeln und ist eng mit den grundlegenden Konstruktoren verknüpft.
Ein wichtiger Charakterzug des Projekts ist die funktionale Denkweise. D. h. der Algorithmus ließ sich mithilfe einer funktionalen Programmiersprache formulieren. In unserem Projekt wurde Haskell verwendet.
Das zweite Thema, Monte-Carlo-Simulation des Deltas und (Cross-)Gammas von
Bermuda-Swaptions im LIBOR-Marktmodell, bezieht sich auf ein zentrales Problem der
Finanzmathematik, nämlich die Bestimmung der Risikoparameter komplexer Zinsderivate.
In dieser Arbeit wurde die numerische Berechnung des Delta-Vektors einer Bermuda-
Swaption ausführlich untersucht und die neue Herausforderung, die Gamma-Matrix einer Bermuda-Swaption exakt simulieren, erfolgreich gemeistert. Die beiden Risikoparameter spielen bei Handelsstrategien in Form des Delta-Hedgings und Gamma-Hedgings eine entscheidende Rolle. Das zugrunde liegende Zinsstrukturmodell ist das LIBORMarktmodell, welches in den letzten Jahren eine auffällige Entwicklung in der Finanzmathematik gemacht hat. Bei der Simulation und Anwendung des LIBOR-Marktmodells fällt die Monte-Carlo-Simulation ins Gewicht.
Für die Berechung des Delta-Vektors einer Bermuda-Swaption wurden drei klassische und drei von uns entwickelte numerische Methoden vorgestellt und gegenübergestellt, welche fast alle vorhandenen Arten der Monte-Carlo-Simulation zur Berechnung des Delta-Vektors einer Bermuda-Swaption enthalten.
Darüber hinaus gibt es in der Arbeit noch zwei neu entwickelte Methoden, um die Gamma-Matrix einer Bermuda-Swaption exakt zu berechnen, was völlig neu im Forschungsgebiet der Computational-Finance ist. Eine ist die modifizierte Finite-Differenzen-Methode. Die andere ist die reine Pathwise-Methode, die auf pfadweiser Differentialrechnung basiert und einem robusten und erwartungstreuen Simulationsverfahren entspricht.
Zusammenfassung. In dieser Arbeit werden Probleme der numerischen Lösung finiter Differenzenverfahren partieller Differentialgleichungen in einem algebraischen Ansatz behandelt. Es werden sowohl theoretische Ergebnisse präsentiert als auch die praktische Implementierung mithilfe der Systeme SINGULAR und QEPCAD vorgeführt. Dabei beziehen sich die algebraischen Methoden auf zwei unterschiedliche Aspekte bei finiten Differenzenverfahren: die Erzeugung von Schemata mithilfe von Gröbnerbasen und die darauf folgende Stabilitätsanalyse mittels Quantorenelimination durch algebraische zylindrische Dekomposition. Beim Aufbau der Arbeit werden in den ersten drei Kapiteln in einer Rückschau die nötigen Begriffe aus der Computeralgebra gelegt, die Grundzüge der numerischen Konvergenztheorie finiter Differenzenschemata erklärt sowie die Anwendung des CAD-Algorithmus zur Quantorenelimierung skizziert. Das Kapitel 4 entwickelt ausgehend vom zugrunde liegenden Kontext die Formulierung und die dafür nötigen Bedingungen an Differenzenschemata, die algebraisch nach Definition ein Ideal in einem Polynomring darstellen. Neben der praktischen Handhabbarkeit der Objekte liegt die Betonung auf größtmöglicher Allgemeinheit in den Definitionen der Begriffe. Es werden äquivalente Wege der Erzeugung sowie Eigenschaften der Eindeutigkeit unter sehr speziellen Bedingungen an die verwendeten Approximationen gezeigt. Die Anwendung des CAD-Algorithmus auf die Abschätzung des Symbols eines Schemas wird erläutert. Das fünfte Kapitel beschreibt die SINGULAR-Bibliothek findiff.lib, welche das Zusammenspiel von SINGULAR und QEPCAD garantiert und eine vollständige Automatisierung der Erzeugung und Stabilitätsanalyse eines finiten Differenzenverfahrens ermöglicht.
Die vorliegende Dissertation besteht aus zwei Hauptteilen: Neue Ergebnisse aus der Gaußchen Analysis und ihre Anwendung auf die Theorie der Pfadintegrale. Das zentrale Resultat des ersten Teils ist die Charakterisierung aller regulären Distributionen die man mit Donsker's Delta multiplizieren kann. Dabei wird eine explizite Formel für solche Produkte, die sogenannte Wick-Formel, angegeben. Im Anwendungsteil dieser Arbeit wird zunächst eine komplex skalierte Feynman-Kac-Formel und ihre zugehörigen Kerne mit Hilfe dieser Wick-Formel gezeigt. Desweiteren werden Feynman Integranden für neue Klassen von Potentialen als White Noise Distributionen konstruiert.
In der Automobilindustrie muss der Nachweis von Bauteilzuverlässigkeiten auf statistischen Verfahren basieren, da die Bauteilfestigkeit und Kundenbeanspruchung streuen. Die bisherigen Vorgehensweisen der Tests führen häufig Fehlentscheidungen bzgl. der Freigabe, was unnötige Design-Änderungen und somit hohe Kosten bedeuten kann. In vorliegender Arbeit wird der Ansatz der partiellen Durchläuferzählung entwickelt, welche die statische Güte der bisherigen Testverfahren (Success Runs) erhöht.
Diese Doktorarbeit befasst sich mit Volatilitätsarbitrage bei europäischen Kaufoptionen und mit der Modellierung von Collateralized Debt Obligations (CDOs). Zuerst wird anhand einer Idee von Carr gezeigt, dass es stochastische Arbitrage in einem Black-Scholes-ähnlichen Modell geben kann. Danach optimieren wir den Arbitrage- Gewinn mithilfe des Erwartungswert-Varianz-Ansatzes von Markowitz und der Martingaltheorie. Stochastische Arbitrage im stochastischen Volatilitätsmodell von Heston wird auch untersucht. Ferner stellen wir ein Markoff-Modell für CDOs vor. Wir zeigen dann, dass man relativ schnell an die Grenzen dieses Modells stößt: Nach dem Ausfall einer Firma steigen die Ausfallintensitäten der überlebenden Firmen an, und kehren nie wieder zu ihrem Ausgangsniveau zurück. Dieses Verhalten stimmt aber nicht mit Beobachtungen am Markt überein: Nach Turbulenzen auf dem Markt stabilisiert sich der Markt wieder und daher würde man erwarten, dass die Ausfallintensitäten der überlebenden Firmen ebenfalls wieder abflachen. Wir ersetzen daher das Markoff-Modell durch ein Semi-Markoff-Modell, das den Markt viel besser nachbildet.
Das zentrale Thema dieser Arbeit sind vollständig gekoppelte reflektierte Vorwärts-Rückwärts-Stochastische-Differentialgleichungen (FBSDE). Zunächst wird ein Spezialfall, die teilweise gekoppelten FBSDE, betrachtet und deren Verbindung zur Bewertung Amerikanischer Optionen aufgezeigt. Für die Lösung dieser Gleichung wird Monte-Carlo-Simulation benötigt, daher werden verschiedene Varianzreduktionsmaßnahmen erarbeitet und miteinander verglichen. Im Folgenden wird der allgemeinere Fall der vollständig gekoppelten reflektierten FBSDE behandelt. Es wird gezeigt, wie das Problem der Lösung dieser Gleichungen in ein Optimierungsproblem übertragen werden kann und infolgedessen mit numerischen Methoden aus diesem Bereich der Mathematik bearbeitet werden kann. Abschließend folgen Vergleiche der verschiedenen numerischen Ansätze mit bereits existierenden Verfahren.
Zwei zentrale Probleme der modernen Finanzmathematik sind die Portfolio-Optimierung und die Optionsbewertung. Während es bei der Portfolio-Optimierung darum geht, das Vermögen optimal auf verschiedene Anlagemöglichkeiten zu verteilen, versucht die Optionsbewertung faire Preise von derivativen Finanzinstrumenten zu bestimmen. In dieser Arbeit werden Fragestellungen aus beiden dieser Themenbereiche bearbeitet. Die Arbeit beginnt mit einem Kapitel über Grundlagen, in dem zum Beispiel das Portfolio-Problem von Merton dargestellt und die Black/Scholes-Formel zur Optionsbewertung hergeleitet wird. In Kapitel 2 wird das Portfolio-Problem von Morton und Pliska betrachtet, die in das Merton-Modell fixe Transaktionskosten eingeführt haben. Dabei muß der Investor bei jeder Transaktion einen fixen Anteil vom derzeitigen Vermögen als Kosten abführen. Es wird die asymptotische Approximation dieses Modells von Atkinson und Wilmott vorgestellt und die optimale Portfoliostrategie aus den Marktparametern hergeleitet. Danach werden die tatsächlichen Transaktionskosten abgeschätzt und ein User Guide zur praktischen Anwendung dieses Transaktionskostenmodells angegeben. Zum Schluß wird das Modell numerisch analysiert, indem unter anderem die erwartete Handelszeit und die Güte der Abschätzung der tatsächlichen Transaktionskosten berechnet werden. Ein Portfolio-Problem mit internationalen Märkten wird in Kapitel 3 vorgestellt. Dem Investor steht zusätzlich zu seinem Heimatland noch ein weiteres Land für seine Vermögensanlagen zur Verfügung. Dabei werden die Preisprozesse für die ausländischen Wertpapiere mit einem stochastischen Wechselkurs in die Heimatwährung umgerechnet. In einer statischen Analyse wird unter anderem berechnet, wieviel weniger Vermögen der Investor benötigt, um das gleiche erwartete Endvermögen zu erhalten wie in dem Fall, wenn ihm keine Auslandsanlagen zur Verfügung stehen. Kapitel 4 behandelt drei verschiedene Portfolio-Probleme mit Sprung-Diffusions-Prozessen. Nach der Herleitung eines Verifikationssatzes wird das Problem bei Anlagemöglichkeit in eine Aktie und in ein Geldmarktkonto jeweils für eine konstante und eine stochastische Zinsrate untersucht. Im ersten Fall wird eine implizite Darstellung für den optimalen Portfolioprozeß und eine Bedingung angegeben, unter der diese Darstellung eindeutig lösbar ist. Außerdem wird der optimale Portfolioprozeß für verschiedene Verteilungen für die Sprunghöhe untersucht. Im Falle einer stochastischen Zinsrate kann nur ein Kandidat für den optimalen Lösungsprozeß angeben werden. Dieser hat wieder eine implizite Darstellung. Das letzte Portfolio-Problem ist eine Abwandlung des Modells aus Kapitel 3. Wird dort der Wechselkurs durch eine geometrisch Brownsche Bewegung modelliert, ist er hier ein reiner Sprungprozeß. Es wird wieder der optimale Portfolioprozeß hergeleitet, wobei ein Anteil davon unter Umständen nur numerisch lösbar ist. Eine hinreichende Bedingung für die Lösbarkeit wird angegeben. In Kapitel 5 werden verschiedene Bewertungsansätze für Optionen auf Bondindizes präsentiert. Es wird eine Methode vorgestellt, mit der die Optionen anhand von Marktpreisen bewertet werden können. Für den Fall, daß es nicht genug Marktpreise gibt, wird ein Verfahren angegeben, um den Bondindex realitätsnah zu simulieren und künstliche Marktpreise zu erzeugen. Diese Preise können dann für eine Kalibrierung verwendet werden.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit Methoden zur Klassifikation von Ovoiden in quadratischen Räumen. Die Anwendung der dazu entwickelten Algorithmen erfolgt hauptsächlich in achtdimensionalen Räumen speziell über den Körpern GF(7), GF(8) und GF(9). Zu verschiedenen, zumeist kleinen, zyklischen Gruppen werden hier die unter diesen Gruppen invarianten Ovoide bestimmt. Die bei dieser Suche auftretenden Ovoide sind alle bereits bekannt. Es ergeben sich jedoch Restriktionen an die Stabilisatoren gegebenenfalls existierender, unbekannter Ovoide.