Isabel Stenger

• Numerical Godeaux surfaces are minimal surfaces of general type with the smallest possible numerical invariants. It is known that the torsion group of a numerical Godeaux surface is cyclic of order \(m\leq 5\). A full classification has been given for the cases \(m=3,4,5\) by the work of Reid and Miyaoka. In each case, the corresponding moduli space is 8-dimensional and irreducible. There exist explicit examples of numerical Godeaux surfaces for the orders \(m=1,2\), but a complete classification for these surfaces is still missing. In this thesis we present a construction method for numerical Godeaux surfaces which is based on homological algebra and computer algebra and which arises from an experimental approach by Schreyer. The main idea is to consider the canonical ring \(R(X)\) of a numerical Godeaux surface \(X\) as a module over some graded polynomial ring \(S\). The ring \(S\) is chosen so that \(R(X)\) is finitely generated as an \(S\)-module and a Gorenstein \(S\)-algebra of codimension 3. We prove that the canonical ring of any numerical Godeaux surface, considered as an \(S\)-module, admits a minimal free resolution whose middle map is alternating. Moreover, we show that a partial converse of this statement is true under some additional conditions. Afterwards we use these results to construct (canonical rings of) numerical Godeaux surfaces. Hereby, we restrict our study to surfaces whose bicanonical system has no fixed component but 4 distinct base points, in the following referred to as marked numerical Godeaux surfaces. The particular interest of this thesis lies on marked numerical Godeaux surfaces whose torsion group is trivial. For these surfaces we study the fibration of genus 4 over \(\mathbb{P}^1\) induced by the bicanonical system. Catanese and Pignatelli showed that the general fibre is non-hyperelliptic and that the number \(\tilde{h}\) of hyperelliptic fibres is bounded by 3. The two explicit constructions of numerical Godeaux surfaces with a trivial torsion group due to Barlow and Craighero-Gattazzo, respectively, satisfy \(\tilde{h} = 2\). With the method from this thesis, we construct an 8-dimensional family of numerical Godeaux surfaces with a trivial torsion group and whose general element satisfy \(\tilde{h}=0\). Furthermore, we establish a criterion for the existence of hyperelliptic fibres in terms of a minimal free resolution of \(R(X)\). Using this criterion, we verify experimentally the existence of a numerical Godeaux surface with \(\tilde{h}=1\).
• Numerische Godeaux-Flächen sind minimale Flächen von allgemeinem Typ mit den kleinstmöglichen numerischen Invarianten. Es ist bekannt, dass die Torsionsgruppe einer numerischen Godeaux-Fläche zyklisch der Ordnung \(m\leq 5\) ist. Die Arbeiten von Reid und Miyaoka liefern eine vollständige Klassifikation für die Fälle \(m=3,4,5\). In jedem dieser Fälle ist der entsprechende Modulraum achtdimensional und irreduzibel. Für die Ordnungen \(m = 1,2\) existieren explizite Beispiele numerischer Godeaux-Flächen, jedoch steht eine vollständige Klassifizierung für diese Flächen noch aus. In dieser Arbeit stellen wir eine Methode zur Konstruktion numerischer Godeaux-Flächen vor, die auf homologischer Algebra und Computeralgebra beruht. Diese Methode geht auf einen experimentellen Ansatz von Schreyer zurück. Die Hauptidee ist es, den kanonischen Ring \(R(X)\) einer numerischen Godeaux-Fläche \(X\) als Modul über einem gewichteten Polynomring \(S\) zu betrachten. Dabei ist der Ring \(S\) derart gewählt, dass \(R(X)\) ein endlich erzeugter \(S\)-Modul ist und eine Gorenstein \(S\)-Algebra der Kodimension 3. Wir zeigen, dass der kanonische Ring einer numerischen Godeaux-Fläche, betrachtet als \(S\)-Modul, eine minimale freie Auflösung besitzt, deren mittlere Abbildung alternierend ist. Darüber hinaus zeigen wir, dass unter zusätzlichen Bedingungen auch die Umkehrung dieser Aussage gilt. Anschließend nutzen wir diese Ergebnisse, um kanonische Ringe numerischer Godeaux-Flächen zu konstruieren. Hierbei beschränken wir uns auf Flächen, deren bikanonisches System keine Basiskomponente und genau 4 verschiedene Basispunkte besitzt. Solche Flächen werden im Folgenden als markierte numerische Godeaux-Flächen bezeichnet. Von besonderem Interesse in dieser Arbeit sind markierte numerische Godeaux-Flächen, deren Torsionsgruppe trivial ist. Für diese Flächen betrachten wir die vom bikanonischen System induzierte Faserung über \(\mathbb{P}^1\) vom Geschlecht 4. Catanese und Pignatelli zeigten, dass die allgemeine Faser nicht hyperelliptisch ist und dass die Anzahl \(\tilde{h}\) hyperellipischer Fasern durch 3 beschränkt ist. Die bisher bekannten Beispiele torsionsfreier numerischer Godeaux-Flächen nach Barlow beziehungsweise Craighero-Gattazzo erfüllen beide \(\tilde{h} = 2\). Mit Hilfe der in dieser Arbeit beschriebenen Methode konstruieren wir eine achtdimensionale Familie numerischer Godeaux-Flächen mit trivialer Torsionsgruppe, deren allgemeines Element keine hyperelliptischen Fasern besitzt. Darüber hinaus entwickeln wir ein Kriterium, welches die Existenz hyperelliptischer Fasern mit Eigenschaften der minimalen freien Auflösung des kanonischen Rings in Verbindung setzt. Unter Anwendung dieses Kriteriums weisen wir experimentell die Existenz einer numerischen Godeaux-Fläche mit \(\tilde{h}=1\) nach.