Markus von Nida

• Over the last decades, mathematical modeling has reached nearly all fields of natural science. The abstraction and reduction to a mathematical model has proven to be a powerful tool to gain a deeper insight into physical and technical processes. The increasing computing power has made numerical simulations available for many industrial applications. In recent years, mathematicians and engineers have turned there attention to model solid materials. New challenges have been found in the simulation of solids and fluid-structure interactions. In this context, it is indispensable to study the dynamics of elastic solids. Elasticity is a main feature of solid bodies while demanding a great deal of the numerical treatment. There exists a multitude of commercial tools to simulate the behavior of elastic solids. Anyhow, the majority of these software packages consider quasi-stationary problems. In the present work, we are interested in highly dynamical problems, e.g. the rotation of a solid. The applicability to free-boundary problems is a further emphasis of our considerations. In the last years, meshless or particle methods have attracted more and more attention. In many fields of numerical simulation these methods are on a par with classical methods or superior to them. In this work, we present the Finite Pointset Method (FPM) which uses a moving least squares particle approximation operator. The application of this method to various industrial problems at the Fraunhofer ITWM has shown that FPM is particularly suitable for highly dynamical problems with free surfaces and strongly changing geometries. Thereby, FPM offers exactly the features that we require for the analysis of the dynamics of solid bodies. In the present work, we provide a numerical scheme capable to simulate the behavior of elastic solids. We present the system of partial differential equations describing the dynamics of elastic solids and show its hyperbolic character. In particular, we focus our attention to the constitutive law for the stress tensor and provide evolution equations for the deviatoric part of the stress tensor in order to circumvent limitations of the classical Hooke's law. Furthermore, we present the basic principle of the Finite Pointset Method. In particular, we provide the concept of upwinding in a given direction as a key ingredient for stabilizing hyperbolic systems. The main part of this work describes the design of a numerical scheme based on FPM and an operator splitting to take the different processes within a solid body into account. Each resulting subsystem is treated separately in an adequate way. Hereby, we introduce the notion of system-inherent directions and dimensional upwinding. Finally, a coupling strategy for the subsystems and results are presented. We close this work with some final conclusions and an outlook on future work.
• Die mathematische Modellierung hat mittlerweile in nahezu allen naturwissenschaftlichen Bereichen Einzug gehalten. Die Beschreibung der betrachteten Prozesse mittels eines mathematischen Modells bietet oftmals eine zuverlässige Methode, um Einblicke in physikalische und technische Vorgänge zu erhalten. Die Rechenleistung moderner Computersysteme half dabei, numerische Simulationen auch industriell zu etablieren. Ein wesentlicher Bereich der mathematischen Modellierung ist die Beschreibung von Festkörpern, beispielsweise zur Untersuchung mechanischer Bauteile oder Fluid-Struktur-Interaktionen. Die Mehrzahl der kommerziellen Programme behandelt quasi-stationäre Probleme. In der vorliegenden Arbeit sind wir indes an hoch dynamischen Prozessen interessiert. Um hier verlässliche Ergebnisse zu erhalten, ist es wichtig, die Dynamik elastischer Festkörper sehr detailliert zu studieren. Im Bereich der Fluid-Dynamik hat sich seit einiger Zeit die Klasse der gitterfreien oder Partikel Methoden etabliert. Ein Vertreter dieser Klasse ist die Finite Pointset Methode (FPM), welche am Fraunhofer ITWM entwickelt und erfolgreich an industriellen Problemen getestet wurde. Insbesondere zeigte sich, dass FPM besonders gut für hoch dynamische Probleme mit freien Oberflächen und sich stark ändernden Geometrien geeignet ist. In der vorliegenden Arbeit entwickeln wir ein numerisches Verfahren, welches in der Lage ist, das Verhalten elastischer Festkörper zu beschreiben. Im ersten Teil stellen wir das zugehörige mathematische Modell vor. Besonderes Augenmerk richten wir hierbei auf das Materialgesetz und formulieren Differentialgleichungen, die den zeitlichen Verlauf des deviatorischen Teils des Spannungstensors beschreiben. Anschließend stellen wir die Grundzüge der Finite Pointset Methode vor. Dabei spielt das Konzept des Upwinding in ausgewählte Richtungen eine wesentliche Rolle bei der Stabilisierung des numerischen Verfahrens. Im zweiten Teil beschreiben wir sehr detailliert die Entwicklung einer numerischen Methode auf Basis von FPM und eines Operator-Splittings. Jedes der durch das Splitting erhaltene Teilsysteme wird gesondert behandelt, um es effektiv zu lösen. Dabei führen wir die Begriffe system-inherente Richtung und dimensional Upwinding ein. Es folgt eine ausführliche Diskussion der Ergebnisse der Teilsysteme und des gekoppelten Systems. Abschließend fassen wir die Ergebnisse unserer Arbeit zusammen und geben einen kurzen Ausblick auf interessante Aspekte zur weiteren Betrachtung.