## Numerical Homogenization for Linear Elasticity in Translation Invariant Spaces

• Composite materials are used in many modern tools and engineering applications and consist of two or more materials that are intermixed. Features like inclusions in a matrix material are often very small compared to the overall structure. Volume elements that are characteristic for the microstructure can be simulated and their elastic properties are then used as a homogeneous material on the macroscopic scale. Moulinec and Suquet [2] solve the so-called Lippmann-Schwinger equation, a reformulation of the equations of elasticity in periodic homogenization, using truncated trigonometric polynomials on a tensor product grid as ansatz functions. In this thesis, we generalize their approach to anisotropic lattices and extend it to anisotropic translation invariant spaces. We discretize the partial differential equation on these spaces and prove the convergence rate. The speed of convergence depends on the smoothness of the coefficients and the regularity of the ansatz space. The spaces of translates unify the ansatz of Moulinec and Suquet with de la Vallée Poussin means and periodic Box splines, including the constant finite element discretization of Brisard and Dormieux [1]. For finely resolved images, sampling on a coarser lattice reduces the computational effort. We introduce mixing rules as the means to transfer fine-grid information to the smaller lattice. Finally, we show the effect of the anisotropic pattern, the space of translates, and the convergence of the method, and mixing rules on two- and three-dimensional examples. References [1] S. Brisard and L. Dormieux. “FFT-based methods for the mechanics of composites: A general variational framework”. In: Computational Materials Science 49.3 (2010), pp. 663–671. doi: 10.1016/j.commatsci.2010.06.009. [2] H. Moulinec and P. Suquet. “A numerical method for computing the overall response of nonlinear composites with complex microstructure”. In: Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 157.1-2 (1998), pp. 69–94. doi: 10.1016/s00457825(97)00218-1.
• Kompositmaterialien werden häufig für moderne Werkstoffe und Anwendungen im Ingenieurwesen verwendet. Einschlüsse oder Fasern sind dabei häufig viel kleiner als das Werkstück selbst. Für Referenzelemente, die charakteristisch für das Komposit sind, können die makroskopischen elastischen Eigenschaften berechnet und als homogenes Material auf der Makroebene eingesetzt werden. Basierend auf den Elastizitätsgleichungen der periodischen Homogenisierung lösen Moulinec und Suquet [2] die sogenannte Lippmann-Schwinger-Gleichung. Sie diskretisieren die Gleichung dabei auf einem Tensorproduktgitter mittels trigonometrischer Polynome als Ansatzfunktionen. In dieser Dissertation verallgemeinern wir ihr Gitter auf anisotrope Muster und erweitern ihren Ansatzraum auf anisotrope translationsinvariante Räume, für die wir einen Konvergenzbeweis führen. Diese Funktionenräume beinhalten zudem de la Vallée Poussin-Mittel und periodische Box-Splines. Letztere sind eine Generalisierung der konstanten Finiten Elemente von Brisard und Dormieux [1]. Für hochaufgelöste Daten führen wir Mischregeln ein, die Rechungen auf einem gröberen Gitter ermöglichen und dazu Informationen des feinen Gitters verwenden. Wir demonstrieren die Möglichkeiten von anisotropen Gittern, Translateräumen und Mischregeln an zwei- und dreidimensionalen Beispielen. Literatur [1] S. Brisard und L. Dormieux. “FFT-based methods for the mechanics of composites: A general variational framework”. In: Computational Materials Science 49.3 (2010), S. 663–671. doi: 10.1016/j.commatsci.2010.06.009. [2] H. Moulinec und P. Suquet. “A numerical method for computing the overall response of nonlinear composites with complex microstructure”. In: Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 157.1-2 (1998), S. 69–94. doi: 10.1016/s00457825(97)00218-1.