Neue Aspekte der Portfolio-Optimierung und der Modellierung von Bondindizes

  • Zwei zentrale Probleme der modernen Finanzmathematik sind die Portfolio-Optimierung und die Optionsbewertung. Während es bei der Portfolio-Optimierung darum geht, das Vermögen optimal auf verschiedene Anlagemöglichkeiten zu verteilen, versucht die Optionsbewertung faire Preise von derivativen Finanzinstrumenten zu bestimmen. In dieser Arbeit werden Fragestellungen aus beiden dieser Themenbereiche bearbeitet. Die Arbeit beginnt mit einem Kapitel über Grundlagen, in dem zum Beispiel das Portfolio-Problem von Merton dargestellt und die Black/Scholes-Formel zur Optionsbewertung hergeleitet wird. In Kapitel 2 wird das Portfolio-Problem von Morton und Pliska betrachtet, die in das Merton-Modell fixe Transaktionskosten eingeführt haben. Dabei muß der Investor bei jeder Transaktion einen fixen Anteil vom derzeitigen Vermögen als Kosten abführen. Es wird die asymptotische Approximation dieses Modells von Atkinson und Wilmott vorgestellt und die optimale Portfoliostrategie aus den Marktparametern hergeleitet. Danach werden die tatsächlichen Transaktionskosten abgeschätzt und ein User Guide zur praktischen Anwendung dieses Transaktionskostenmodells angegeben. Zum Schluß wird das Modell numerisch analysiert, indem unter anderem die erwartete Handelszeit und die Güte der Abschätzung der tatsächlichen Transaktionskosten berechnet werden. Ein Portfolio-Problem mit internationalen Märkten wird in Kapitel 3 vorgestellt. Dem Investor steht zusätzlich zu seinem Heimatland noch ein weiteres Land für seine Vermögensanlagen zur Verfügung. Dabei werden die Preisprozesse für die ausländischen Wertpapiere mit einem stochastischen Wechselkurs in die Heimatwährung umgerechnet. In einer statischen Analyse wird unter anderem berechnet, wieviel weniger Vermögen der Investor benötigt, um das gleiche erwartete Endvermögen zu erhalten wie in dem Fall, wenn ihm keine Auslandsanlagen zur Verfügung stehen. Kapitel 4 behandelt drei verschiedene Portfolio-Probleme mit Sprung-Diffusions-Prozessen. Nach der Herleitung eines Verifikationssatzes wird das Problem bei Anlagemöglichkeit in eine Aktie und in ein Geldmarktkonto jeweils für eine konstante und eine stochastische Zinsrate untersucht. Im ersten Fall wird eine implizite Darstellung für den optimalen Portfolioprozeß und eine Bedingung angegeben, unter der diese Darstellung eindeutig lösbar ist. Außerdem wird der optimale Portfolioprozeß für verschiedene Verteilungen für die Sprunghöhe untersucht. Im Falle einer stochastischen Zinsrate kann nur ein Kandidat für den optimalen Lösungsprozeß angeben werden. Dieser hat wieder eine implizite Darstellung. Das letzte Portfolio-Problem ist eine Abwandlung des Modells aus Kapitel 3. Wird dort der Wechselkurs durch eine geometrisch Brownsche Bewegung modelliert, ist er hier ein reiner Sprungprozeß. Es wird wieder der optimale Portfolioprozeß hergeleitet, wobei ein Anteil davon unter Umständen nur numerisch lösbar ist. Eine hinreichende Bedingung für die Lösbarkeit wird angegeben. In Kapitel 5 werden verschiedene Bewertungsansätze für Optionen auf Bondindizes präsentiert. Es wird eine Methode vorgestellt, mit der die Optionen anhand von Marktpreisen bewertet werden können. Für den Fall, daß es nicht genug Marktpreise gibt, wird ein Verfahren angegeben, um den Bondindex realitätsnah zu simulieren und künstliche Marktpreise zu erzeugen. Diese Preise können dann für eine Kalibrierung verwendet werden.
  • Portfolio optimization and the valuation of options constitute two important topics currently dealt with in financial mathematics. Portfolio optimization is the optimal distribution of wealth between different investment opportunities. Valuing options involves determining the fair prices of derivatives. This dissertation considers questions from both these topics. The first chapter of this thesis reviews the fundamentals of financial mathematics. These include discussing the portfolio problem of Merton and deriving the Black-Scholes formula. Chapter two discusses the portfolio problem of Morton and Pliska, who introduced fixed transaction costs into the Merton model. The investor has to pay a fixed portion of his or her current wealth as a fee. An asymptotic approximation of this model (due to Atkinson and Wilmott) is introduced and an optimal portfolio strategy is derived from the market parameters. Subsequently, the real transaction costs are estimated and a user's guide is provided for the practical application of this transaction cost model. Finally, the model is analyzed numerically by calculating, among other things, the expected trading time and the quality of the estimation of the real transaction costs. Chapter three introduces a portfolio problem containing international markets. The investor has, apart from his home country, the opportunity to invest his wealth in another country. The price processes of the foreign financial assets are converted into the home currency by means of a stochastic exchange rate. In a static analysis it is calculated how much less wealth the investor needs in order to reach the same expected final wealth as in the case without a foreign market. Three different portfolio problems with jump diffusion processes are considered in chapter four. Firstly, a verification theorem is derived. Secondly, the problem is considered when one can invest in the stocks (of a single company) or in a money market account, for the cases of constant and stochastic interest. An implicit representation for the optimal portfolio process as well as a condition under which this representation has a unique solution are provided for the constant interest rate case. Furthermore, the optimal portfolio process is studied for various distributions of the jump size. One can only provide a candidate for the solution process in the case of stochastic interest. This candidate also has an implicit representation. The last portfolio problem is an alteration of the model from chapter three. The exchange rate is a pure jump process in contrast to chapter three where it is modeled by a geometric Brownian motion. An optimal portfolio process is again derived, although a part of it can (under certain conditions) only be solved numerically. A sufficient condition is given for the solubility. Various approaches for valuing options on bond indices are presented in chapter five. A method for valuing these options using market prices is demonstrated. The bond index can be simulated realistically and artificial option prices can be generated by a procedure provided when there are not enough market prices available. These prices can then be used for calibration.

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Metadaten
Author:Tin-Kwai Man
URN (permanent link):urn:nbn:de:hbz:386-kluedo-21064
Advisor:Ralf Korn
Document Type:Doctoral Thesis
Language of publication:German
Year of Completion:2007
Year of Publication:2007
Publishing Institute:Technische Universität Kaiserslautern
Granting Institute:Technische Universität Kaiserslautern
Acceptance Date of the Thesis:2007/06/13
Tag:Bondindizes; Internationale Diversifikation ; Optimale Portfolios ; Sprung-Diffusions-Prozesse ; Stochastische Zinsen
GND-Keyword:Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung ; Optionspreistheorie ; Portfoliomanagement ; Stochastische dynamische Optimierung ; Transaktionskosten
Faculties / Organisational entities:Fachbereich Mathematik
DDC-Cassification:510 Mathematik
MSC-Classification (mathematics):60G35 Signal detection and filtering [See also 62M20, 93E10, 93E11, 94Axx]
60H30 Applications of stochastic analysis (to PDE, etc.)
93E20 Optimal stochastic control

$Rev: 12793 $