On the Approximation of a Ball by Random Polytopes

  • Let (\(a_i)_{i\in \bf{N}}\) be a sequence of identically and independently distributed random vectors drawn from the \(d\)-dimensional unit ball \(B^d\)and let \(X_n\):= convhull \((a_1,\dots,a_n\)) be the random polytope generated by \((a_1,\dots\,a_n)\). Furthermore, let \(\Delta (X_n)\) : = (Vol \(B^d\) \ \(X_n\)) be the deviation of the polytope's volume from the volume of the ball. For uniformly distributed \(a_i\) and \(d\ge2\), we prove that tbe limiting distribution of \(\frac{\Delta (X_n)} {E(\Delta (X_n))}\) for \(n\to\infty\) satisfies a 0-1-law. Especially, we provide precise information about the asymptotic behaviour of the variance of \(\Delta (X_n\)). We deliver analogous results for spherically symmetric distributions in \(B^d\) with regularly varying tail.

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Verfasserangaben:Karl-Heinz Küfer
URN (Permalink):urn:nbn:de:hbz:386-kluedo-50509
Schriftenreihe (Bandnummer):Preprints (rote Reihe) des Fachbereich Mathematik (250)
Dokumentart:Bericht
Sprache der Veröffentlichung:Englisch
Veröffentlichungsdatum (online):09.11.2017
Jahr der Veröffentlichung:1994
Veröffentlichende Institution:Technische Universität Kaiserslautern
Datum der Publikation (Server):09.11.2017
Seitenzahl:17
Fachbereiche / Organisatorische Einheiten:Fachbereich Mathematik
DDC-Sachgruppen:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 510 Mathematik
Lizenz (Deutsch):Creative Commons 4.0 - Namensnennung, nicht kommerziell, keine Bearbeitung (CC BY-NC-ND 4.0)

$Rev: 13581 $