## Asymptotic Analysis of lattice Boltzmann method for Fluid-Structure interaction problems

• The lattice Boltzmann method (LBM) is a numerical solver for the Navier-Stokes equations, based on an underlying molecular dynamic model. Recently, it has been extended towardsthe simulation of complex fluids. We use the asymptotic expansion technique to investigate the standard scheme, the initialization problem and possible developments towards moving boundary and fluid-structure interaction problems. At the same time, it will be shown how the mathematical analysis can be used to understand and improve the algorithm. First of all, we elaborate the tool "asymptotic analysis", proposing a general formulation of the technique and explaining the methods and the strategy we use for the investigation. A first standard application to the LBM is described, which leads to the approximation of the Navier-Stokes solution starting from the lattice Boltzmann equation. As next, we extend the analysis to investigate origin and dynamics of initial layers. A class of initialization algorithms to generate accurate initial values within the LB framework is described in detail. Starting from existing routines, we will be able to improve the schemes in term of efficiency and accuracy. Then we study the features of a simple moving boundary LBM. In particular, we concentrate on the initialization of new fluid nodes created by the variations of the computational fluid domain. An overview of existing possible choices is presented. Performing a careful analysis of the problem we propose a modified algorithm, which produces satisfactory results. Finally, to set up an LBM for fluid structure interaction, efficient routines to evaluate forces are required. We describe the Momentum Exchange algorithm (MEA). Precise accuracy estimates are derived, and the analysis leads to the construction of an improved method to evaluate the interface stresses. In conclusion, we test the defined code and validate the results of the analysis on several simple benchmarks. From the theoretical point of view, in the thesis we have developed a general formulation of the asymptotic expansion, which is expected to offer a more flexible tool in the investigation of numerical methods. The main practical contribution offered by this work is the detailed analysis of the numerical method. It allows to understand and improve the algorithms, and construct new routines, which can be considered as starting points for future researches.
• Das Lattice-Boltzmann-Verfahren (LB) ist ein numerisches Verfahren zur Loesung der der Navier-Stokes-Gleichungen, das auf einem kinetischen, molekular-dynamischen Modell beruht. Es wurde vor kurzem erweitert, um insbesondere komplexe Stroemungen simulieren zu koennen. Die Methode der asymptotischen Entwicklungen wird angewandt, um das Standardverfahnen, die Initialisierung und Weiterentwicklungen in Richtung beweglicher Raender und Fluid-Struktur Wechselwirkungen zu untersuchen. Die Analyse zeigt gleichzeitig, wie dieses Werkzeug dazu verwendet werden kann, ein tieferes Verstaendnis des Verfahrens zu erlangen und den Algorithmus weiter zu verbessern. Zu diesem Zweck wird die asymptotische Analyse genauer ausgearbeitet und ein allgemeiner Rahmen fuer die Technik entwickelt, anhand dessen die Methode und die Vorgehensweise bei den folgenden Untersuchungen dargestellt werden. Eine erste Anwendung auf das gewoehnliche LB-Verfahren fuehrt - ausgehend von der Lattice-Boltzmann-Gleichung - auf approximative Loesungen der Navier-Stokes-Gleichungen. Im Folgenden wird die Analyse auf das Studium des Ursprungs und der Dynamik von Anfangsrandschichten ausgedehnt. Die Untersuchung befasst sich detailliert mit einer Klasse von Initialisierungsverfahren, die genauere Anfangswerte mit den Mitteln des LB-Verfahrens erzeugen. Ausgehend von vorhandenen Ansaetzen werden Verbesserungen in Bezug auf Effizienz und Genauigkeit vorgeschlagen. Anschließend befasst sich die Arbeit mit den Eigenschaften eines LB-Verfahrens mit beweglichen Raendern}. Dabei wird besonderes Augenmerk auf die Initialisierung neuer Fluidknoten gelegt, die bei der Bewegung des Rechengebiets entstehen. Auf einen kurzen Ueberblick ueber moegliche Ansaetze folgt die sorgfaeltige Analyse des Problems und darauf aufbauend die Diskussion eines Verfahrens, das bestehende Schwierigkeiten behebt. Um schließlich ein LB-Verfahren zu entwickeln, das auch Fluid-Struktur Wechselwirkungen mit einschließt, ist zuerst eine Methode zur Berechnung von Kraeften noetig. Hierzu wird der sogenannte Momentum Exchange Algorithm (MEA) herangezogen. Die Analyse liefert exakte Aussagen zur Genauigkeit und fuehrt auf die Konstruktion einer verbesserten Methode fuer die Berechnung der Spannungen an Grenzflaechen. Zusammfassend wird der implementierte Algorithmus getestet und die Ergebnisse der theoretischen Analysen anhand einfacher Beispiele validiert. Die vorliegende Arbeit entwickelt auf theoretischer Seite eine allgemeine Formulierung der asymptotischen Analyse, die als flexibles Werkzeug zur Untersuchung numerischer Verfahren dienen kann. Aus praktischer Sicht traegt sie zudem eine umfassende Untersuchung des LB-Verfahrens als numerische Methode bei, die das Verstaendnis vertieft und es erlaubt, bestehende Algorithmen zu verbessern und neue zu entwickeln. Damit kann die Arbeit schließlich einen Ausgangspunkt fuer weitere Forschungen bilden.