Berichte der Arbeitsgruppe Technomathematik (AGTM Report)
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Zeitreihen und Modalanalyse
(1987)
Die Arbeit ist zu verstehen als ein Teil im großen Projekt der Universität Kaiserslautern, das sich unter dem Namen Technomathematik um die dringend erforderliche Verständigung zwischen Technik und Mathematik bemüht.; Der große Leitfaden war das Buch von Natke: Einführung in Theorie und Praxis der Zeitreihen- und Modalanalyse, Schilderung der wesentlichen dort verwendeten Ideen der indirekten Systemidentifikation sowie des wahrscheinlichkeitstheoretischen und physikalisch-technischen Hintergrundes.
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In diesem Projekt soll die Bildung von Wirbeln bei der Strömung eines Gases um eine Ecke numerisch untersucht werden. Dabei sollen verschiedene numerische Verfahren getestet und die Ergebnisse mit Versuchsdaten verglichen werden. Ferner soll untersucht werden, wie gut sich diese Verfahren vektorisieren lassen, da komplizierte zweidimensionale und selbst einfache dreidimensionale Probleme der Strömungsdynamik auf den heute üblichen Universalrechnern nicht mit vertretbarem Zeitaufwand zu lösen sind. Die numerischen Berechnungen werden auf der CYBER 205 in Karlsruhe durchgeführt.
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In diesem Projekt soll die Bildung von Wirbeln bei der Strömung eines Gases um eine Ecke numerisch untersucht werden. Dabei sollen verschiedene numerische Verfahren getestet und die Ergebnisse mit Versuchsdaten verglichen werden. Ferner soll untersucht werden, wie gut sich diese Verfahren vektorisieren lassen, da kompliziertere zweidimensionale und selbst einfache dreidimensionale Probleme der Strömungsdynamik auf den heute üblichen Universalrechnern nicht mit vertretbarem Zeitaufwand zu lösen sind, besonders, wenn, wie an der Universität Kaiserslautern, nur eine relativ langsame Anlage (Siemens 7551/7561) zur Verfügung steht. Die numerischen Rechnungen werden auf der CYBER 205 in Karlsruhe durchgeführt.
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Das Programmsystem PROMO wird in der Industrie zur Berechnung von instationären Gasströmungen in Mehrzylinder-Verbrennungsmotoren eingesetzt. PROMO wurde in den Jahren von 1970 bis 1977 an der Ruhr-Universität Bochum entwickelt. Nach den ersten Erfahrungen von Anwendern wurde das Programmsystem 1979/80 überarbeitet, und es entstand die neue Version PROMO 2.; Instationäre, kompressible und eindimensionale Rohrströmungen können berechnet werden. Außerdem sind die verschiedensten Rand- und Übergangsbedingungen zwischen den einzelnen Rohrstücken realisiert.; Einerseits hat sich PROMO in der Praxis bewährt, andererseits wurden auch deutliche Abweichungen der Rechenergebnisse von Messungen beobachtet. Aus dem Anwenderbereich hat die Firma Gillet (Hersteller von Auspuffanlagen) folgende Fragen aufgeworfen: Wie muß die Orts- bzw. Zeitschrittweite gewählt werden, um eine bestimmte Genauigkeit der numerischen Lösung zu sichern? Wie können die erzielten Ergebnisse theoretisch beurteilt werden (Fehlerschätzung)?; Deshalb erscheint eine Betrachtung des Programmsystems aus mathematischer Sicht sinnvoll.
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Die Bestimmung des Erdgravitationspotentials aus den Meßdaten des Forschungssatelliten CHAMP lässt sich als Operatorgleichung formulieren (SST-Problem). Dieser Ansatz geht davon aus, dass ein geometrischer Orbit des Satelliten CHAMP vorliegt. Mittels numerischer Differentiation unter Einsatz eines geeigneten Denoising Verfahrens kann dann aus dem geometrischen Orbit der Gradient des Potentials längs der Bahn bestimmt werden. Damit sind insbesondere die Radialableitung (und der Flächengradient) auf einem Punktgitter auf der Bahn bekannt. In einem erdfesten System stellt sich dies als eine nahezu vollständige Überdeckung der Erde (bis auf Polar Gaps) mit einem ziemlich dichten Datengitter auf Flughöhe des Satelliten dar. Die Lösung der SST-Operatorgleichung (Bestimmung des Potentials auf der Erdoberfläche aus Kenntnis der Radialableitung auf einem Datengitter auf Flughöhe) ist ein schlecht gestelltes inverses Problem, das mit einer geeigneten Regularisierungstechnik gelöst werden muß. Im vorliegenden Fall wurde eine solche Regularisierung mit Hilfe von nicht-bandlimitierten Regularisierungsskalierungsfunktionen und Regularisierungswavelets umgesetzt. Diese sind stark ortslokalisierend und führen daher auf ein Potentialmodell, welches eine Linearkombination stark ortslokalisierender Funktionen ist. Ein solches Modell kann als Lokalmodell auch aus nur lokalen Daten berechnet werden und bietet daher gegenüber Kugelfunktionsmodellen wie EGM96 erhebliche Vorteile für die moderne Geopotentialbestimmung. Die Diskretisierung und numerische Umsetzung der Berechnung eines solchen Modells erfolgt mit Splines, die hier ebenfalls Linearkombinationen stark ortslokalisierender Funktionen sind. Die großen linearen Gleichungssysteme, die zur Berechnung der glättenden oder interpolierenden Splines gelöst werden müssen, können auf schnelle und effiziente Weise mit dem Schwarzschen alternierenden Algorithmus in Verbindung mit schnellen Summationsverfahren (Fast Multipole Methods) gelöst werden. Eine Kombination des Schwarzschen alternierenden Algorithmus mit solchen schnellen Summationsverfahren ermöglicht eine weitere erhebliche Beschleunigung beim Lösen dieser Gleichungssysteme. Zur Bestimmung von Glättungsparametern (Spline-Smoothing) und Regularisierungsparametern kann die L-Curve Method zum Einsatz kommen.