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In den Modellierungssystemen des CAD/CAM werden oft unterschiedliche Methoden zur mathematischen Beschreibung von Freiformkurven und -flächen eingesetzt. Als Basisfunktionen können sowohl Monome, Bernstein-Polynome, B-Spline-Basisfunktionen als auch nicht lineare Funktionen auftreten. In den einzelnen CAD-Systemen kann der maximal zulässige Grad dieser Basisfunktionen variieren. Müssen nun Daten zwischen verschiedenen CAD-Systemen ausgetauscht werden, so muß u. U. eine Basistransformation
und/oder eine Gradanpassung durchgeführt werden. Diese Transformationen sind i.a. nicht exakt möglich. Hier sind geeignete, möglichst optimale Approximationen nötig. Bisher wurden verschiedene Verfahren entwickelt. Das älteste geht zurück auf Forrest [Forr72]. Farin [FAR90] invertiert den Prozeß der Graderhöhung. Watkins und Worsey [Wat88] sowie Lachance [Lach88] reduzieren den Polynomgrad in der Tschebyscheff-Basis. Hoschek et al. [Hos89] sowie Plass und Stone [Plas83] approximieren die Kurve bzw. Fläche punktweise. Dadurch lassen sich alle Kurven- und Flächenrepräsentationen durch eine Bézier-Darstellung approximieren. Ein Approximationsfehler kann jedoch auch nur punktweise garantiert werden. Durch einen anschließenden Parameteriterationsprozeß läßt sich eine weitere Approximationsverbesserung erzielen. Eine solche Parameterkorrektur ist jedoch nur dann sinnvoll, wenn die Parametrisierung der Approximationskurve bzw. -fläche frei gewählt werden kann. In Fällen, in denen die Funktionswerte dei; zu approximierenden Flächen bzgl. ihrer Parameterwerte mit anderen Flächen korrespondieren, darf keine Parameteränderung durchgeführt werden, wie z.B. bei der Approximation sogenannter Eigenschaftsflächen, die eine bestimmte Eigenschaft einer anderen Fläche, wie etwa die Gausskrümmung oder die Normalenrichtung darstellen. In dieser Arbeit wird ein Verfahren zur optimalen Gradreduktion von Bézierkurven und -flächen vorgestellt. Damit eine \(C^0\)-stetige Approximation innerhalb einer vom Benutzer vorgegebenen Fehlertoleranz durchgeführt werden kann, muß die Approximation mindestens eine Berührordnung ersten Grades mit der Originalkurve bzw. -fläche aufweisen. Mit Hilfe arithmetischer Operationen auf Bézierdarstellungen [Faro88], [Schr92] werden lineare Gleichungssysteme für eine optimale Belegung der freien Parameter aufgestellt, sowie eine Fehlerkurve bzw. -fläche in Bézierform berechnet, um die Einhaltung einer Fehlertoleranz zu gewährleisten.
This paper describes some new algorithms for the accurate calculation of surface properties. In the first part an arithmetic on Bézier surfaces is introduced. Formulas are given, which determine the Bézier points and weights of the resulting surface from the points and weights of the operand surfaces. An application of the arithmetic operations to the surface interrogation methods are described in the second part. It turns out, that the quality analysis can be reduced to a few numerical stable operations. Finally the advantages and disadvantages of this method are discussed.