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Faculty / Organisational entity
In der CAGD Literatur werden häufig Ableitungen und Graderhöhungen von Bezierkurven und -flächen wiederum in Bezierform angegeben [1][2][3][6]. Meistens werden diese Darstellungen nur für theoretische Betrachtungen verwendet, z.B. geometrischer Deutung von Stetigkeiten zwischen angrenzenden Flächenstücken. Für praktische Anwendungen reicht die Menge der Operationen jedoch nicht aus. Farouki und Rajan [4] zeigten, daß die Resultate arithmetischer Operationen, wie Addition und Multiplikation auf Bezierkurven auch als Bezierkurven darstellbar sind. Hier werden wir die Operationen auf polynomiale und rationale Tensorprodukt Bezierflächen und Flächen über Dreiecken ausdehnen. Eine Erweiterung auf rationale Flächen ermöglicht insbesondere die Ausführung einer Division, wie sie für viele Anwendungen benötigt wird. Das Rechnen mit Flächen hat im Gegensatz zu punktweisen Auswertungen den Vorteil gleichzeitig mit Hilfe von notwendigen Bedingungen an das entstandene Beziernetz sichere Ergebnisabschätungen angeben zu können. Diese lassen sich für adaptive Verfahren nutzen und sind insbesondere dort wichtig, wo es auf exakte Aussagen über das Verhalten von Flächen ankommt, wie z.B. bei der Qualitätsanalyse von Freiformflächen [5]. Mit Hilfe der hier vorgestellten Operationen läßt sich u.a. an Vorzeichenwechseln erkennen, ob eine zu untersuchende Bezierfläche konvex ist oder nicht (siehe Kapitel 4). Außerdem können Fehler, die bei punktweisen Auswertungen auf Gittern mit großer Maschenweite entstehen, vermieden werden. Nachdem in Kapitel 2 die zum Verständnis nötigen Definitionen und Schreibweisen erläutert wurden, werden in Kapitel 3 die grundlegenden Operationen für eine Arithmetik
auf Bezierflächen beschrieben. Dabei werden Formeln angegeben, die die Bezierpunkte und Gewichte der Ergebnisfläche aus denen der Operandenflächen bestimmen. Durch Aneinanderreihung und Verkettung einzelner Operationen lassen sich dann komplexe Berechnungen mit der gesamten Fläche ausführen. Zum Schluß werden in Kapitel 4 einige Beispiele aus dem Bereich der Qualitätsanalyse von Freiformflächen angegeben.
In den Modellierungssystemen des CAD/CAM werden oft unterschiedliche Methoden zur mathematischen Beschreibung von Freiformkurven und -flächen eingesetzt. Als Basisfunktionen können sowohl Monome, Bernstein-Polynome, B-Spline-Basisfunktionen als auch nicht lineare Funktionen auftreten. In den einzelnen CAD-Systemen kann der maximal zulässige Grad dieser Basisfunktionen variieren. Müssen nun Daten zwischen verschiedenen CAD-Systemen ausgetauscht werden, so muß u. U. eine Basistransformation
und/oder eine Gradanpassung durchgeführt werden. Diese Transformationen sind i.a. nicht exakt möglich. Hier sind geeignete, möglichst optimale Approximationen nötig. Bisher wurden verschiedene Verfahren entwickelt. Das älteste geht zurück auf Forrest [Forr72]. Farin [FAR90] invertiert den Prozeß der Graderhöhung. Watkins und Worsey [Wat88] sowie Lachance [Lach88] reduzieren den Polynomgrad in der Tschebyscheff-Basis. Hoschek et al. [Hos89] sowie Plass und Stone [Plas83] approximieren die Kurve bzw. Fläche punktweise. Dadurch lassen sich alle Kurven- und Flächenrepräsentationen durch eine Bézier-Darstellung approximieren. Ein Approximationsfehler kann jedoch auch nur punktweise garantiert werden. Durch einen anschließenden Parameteriterationsprozeß läßt sich eine weitere Approximationsverbesserung erzielen. Eine solche Parameterkorrektur ist jedoch nur dann sinnvoll, wenn die Parametrisierung der Approximationskurve bzw. -fläche frei gewählt werden kann. In Fällen, in denen die Funktionswerte dei; zu approximierenden Flächen bzgl. ihrer Parameterwerte mit anderen Flächen korrespondieren, darf keine Parameteränderung durchgeführt werden, wie z.B. bei der Approximation sogenannter Eigenschaftsflächen, die eine bestimmte Eigenschaft einer anderen Fläche, wie etwa die Gausskrümmung oder die Normalenrichtung darstellen. In dieser Arbeit wird ein Verfahren zur optimalen Gradreduktion von Bézierkurven und -flächen vorgestellt. Damit eine \(C^0\)-stetige Approximation innerhalb einer vom Benutzer vorgegebenen Fehlertoleranz durchgeführt werden kann, muß die Approximation mindestens eine Berührordnung ersten Grades mit der Originalkurve bzw. -fläche aufweisen. Mit Hilfe arithmetischer Operationen auf Bézierdarstellungen [Faro88], [Schr92] werden lineare Gleichungssysteme für eine optimale Belegung der freien Parameter aufgestellt, sowie eine Fehlerkurve bzw. -fläche in Bézierform berechnet, um die Einhaltung einer Fehlertoleranz zu gewährleisten.