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This thesis deals with the following question. Given a moduli space of coherent sheaves on a projective variety with a fixed Hilbert polynomial, to find a natural construction that replaces the subvariety of the sheaves that are not locally free on their support (we call such sheaves singular) by some variety consisting of sheaves that are locally free on their support. We consider this problem on the example of the coherent sheaves on \(\mathbb P_2\) with Hilbert polynomial 3m+1.
Given a singular coherent sheaf \(\mathcal F\) with singular curve C as its support we replace \(\mathcal F\) by locally free sheaves \(\mathcal E\) supported on a reducible curve \(C_0\cup C_1\), where \(C_0\) is a partial normalization of C and \(C_1\) is an extra curve bearing the degree of \(\mathcal E\). These bundles resemble the bundles considered by Nagaraj and Seshadri. Many properties of the singular 3m+1 sheaves are inherited by the new sheaves we introduce in this thesis (we call them R-bundles). We consider R-bundles as natural replacements of the singular sheaves. R-bundles refine the information about 3m+1 sheaves on \(\mathbb P_2\). Namely, for every isomorphism class of singular 3m+1 sheaves there are \(\mathbb P_1\) many equivalence classes of R-bundles. There is a variety \(\tilde M\) of dimension 10 that may be considered as the space of all the isomorphism classes of the non-singular 3m+1 sheaves on \(\mathbb P_2\) together with all the equivalence classes of all R-bundles. This variety is obtained by blowing up the moduli space of 3m+1 sheaves on \(\mathbb P_2\) along the subvariety of singular sheaves. We modify the definition of a 3m+1 family and obtain a notion of a new family over an arbitrary variety S. In particular 3m+1 families of the non-singular sheaves on \(\mathbb P_2\) are families in this sense. New families over one point are either non-singular 3m+1 sheaves or R-bundles. For every variety S we introduce an equivalence relation on the set of all new families over S. The notion of equivalence for families over one point coincides with isomorphism for non-singular 3m+1 sheaves and with equivalence for R-bundles. We obtain a moduli functor \(\tilde{\mathcal M}:(Sch) \rightarrow (Sets)\) that assigns to every variety S the set of the equivalence classes of the new families over S. There is a natural transformation of functors \(\tilde{\mathcal M}\rightarrow \mathcal M\) that establishes a relation between \(\tilde{\mathcal M}\) and the moduli functor \(\mathcal M\) of the 3m+1 moduli problem on \(\mathbb P_2\). There is also a natural transformation \(\tilde{\mathcal M} \rightarrow Hom(\__ ,\tilde M)\), inducing a bijection \(\tilde{\mathcal M}(pt)\cong \tilde M\), which means that \(\tilde M\) is a coarse moduli space of the moduli problem \(\tilde{\mathcal M}\).
Diese Doktorarbeit befasst sich mit Volatilitätsarbitrage bei europäischen Kaufoptionen und mit der Modellierung von Collateralized Debt Obligations (CDOs). Zuerst wird anhand einer Idee von Carr gezeigt, dass es stochastische Arbitrage in einem Black-Scholes-ähnlichen Modell geben kann. Danach optimieren wir den Arbitrage- Gewinn mithilfe des Erwartungswert-Varianz-Ansatzes von Markowitz und der Martingaltheorie. Stochastische Arbitrage im stochastischen Volatilitätsmodell von Heston wird auch untersucht. Ferner stellen wir ein Markoff-Modell für CDOs vor. Wir zeigen dann, dass man relativ schnell an die Grenzen dieses Modells stößt: Nach dem Ausfall einer Firma steigen die Ausfallintensitäten der überlebenden Firmen an, und kehren nie wieder zu ihrem Ausgangsniveau zurück. Dieses Verhalten stimmt aber nicht mit Beobachtungen am Markt überein: Nach Turbulenzen auf dem Markt stabilisiert sich der Markt wieder und daher würde man erwarten, dass die Ausfallintensitäten der überlebenden Firmen ebenfalls wieder abflachen. Wir ersetzen daher das Markoff-Modell durch ein Semi-Markoff-Modell, das den Markt viel besser nachbildet.
Untersuchungen zu Raum und Abschirmung am Beispiel der privaten Wohnhäuser von Philip Johnson
(2009)
Architektur ist geprägt vom Wandel. Auch wenn viele Architekten den daraus resultierenden Verlust von Konstanz in der Architektur bemängeln, lohnt sich die Auseinandersetzung mit dem Wandel. Er beinhaltet Entwicklungsmöglichkeiten der Architektur, aus denen wiederum Rückschlüsse für das eigene Entwerfen gewonnen werden können. Da sich die Gründe des Wandels selten eindeutig bestimmen lassen, liegt der Interessensschwerpunkt der Dissertation auf dessen Erscheinungen. Die Aufmerksamkeit wird deshalb auf die wesentlichen Elemente der Architektur, nämlich Raum und Abschirmung, gerichtet. An ihnen werden die Prinzipien des Wandels beschrieben. Dazu werden die Veränderungen von Raum und Abschirmung exemplarisch an den privaten Wohnhäusern von Philip Johnson untersucht. Diese Analyse ergibt, dass sich der Wandel in der Transformation von Raumtyp und Abschirmung bzw. im Wechsel zwischen Raumtypen manifestiert. Während durch die Transformation ein Raumtyp weiterentwickelt wird - Mittel der Transformation sind z.B. die Verformung oder die Verselbständigung von Elementen-, steht der Wechsel von einem Raumtyp zu einem anderen für den fundamentalen Wandel eines Raum- und Gestaltungskonzeptes. Die Wohnhäuser von Philip Johnson können in Bezug auf den Wandel nicht als inhaltlich abschließend bezeichnet werden. Zum einen arbeitet Johnson bei den Wohnhäusern nur mit den vier Raumtypen „Das klar definierte Innen“, „Das Ineinanderfließen von Innen und Außen“, „Innen und Außen als Raumeinheiten“ und „Das Innen im Außen“, zum anderen blendet er z.B. konstruktive Aspekte, wie Bauteilstärken aus. Dennoch können aus der Untersuchung allgemeingültige Rückschlüsse gewonnen werden. Zunächst ist festzustellen, dass der Wandel nicht so komplex ist, wie er durch die Masse diffuser Erscheinungsformen der Architektur erscheint. Er ist rückführbar auf die Veränderungen von Raum und Abschirmung. Sie bilden gemeinsam ein gedankliches und gebautes System, innerhalb dessen sich Architektur bewegt. Dieses System ist offen für potentielle Entwicklungen, d.h. es lässt neue Raumtypen oder aber Veränderungen des Raumtyps und der Abschirmung zu. Darüber hinaus ermöglicht es ein systematisches Vorgehen beim Entwerfen. Entwurfsalternativen und -varianten können aufbauend auf diesen Erkenntnissen aus Raum und Abschirmung gezielt entwickelt werden.
In nancial mathematics stock prices are usually modelled directly as a result of supply and demand and under the assumption that dividends are paid continuously. In contrast economic theory gives us the dividend discount model assuming that the stock price equals the present value of its future dividends. These two models need not to contradict each other - in their paper Korn and Rogers (2005) introduce a general dividend model preserving the stock price to follow a stochastic process and to be equal to the sum of all its discounted dividends. In this paper we specify the model of Korn and Rogers in a Black-Scholes framework in order to derive a closed-form solution for the pricing of American Call options under the assumption of a known next dividend followed by several stochastic dividend payments during the option's time to maturity.
In this work we establish a hierarchy of mathematical models for the numerical simulation of the production process of technical textiles. The models range from highly complex three-dimensional fluid-solid interactions to one-dimensional fiber dynamics with stochastic aerodynamic drag and further to efficiently handable stochastic surrogate models for fiber lay-down. They are theoretically and numerically analyzed and coupled via asymptotic analysis, similarity estimates and parameter identification. Themodel hierarchy is applicable to a wide range of industrially relevant production processes and enables the optimization, control and design of technical textiles.
Four aspects are important in the design of hydraulic lters. We distinguish between two cost factors and two performance factors. Regarding performance, filter eciencynd lter capacity are of interest. Regarding cost, there are production considerations such as spatial restrictions, material cost and the cost of manufacturing the lter. The second type of cost is the operation cost, namely the pressure drop. Albeit simulations should and will ultimately deal with all 4 aspects, for the moment our work is focused on cost. The PleatGeo Module generates three-dimensional computer models of a single pleat of a hydraulic lter interactively. PleatDict computes the pressure drop that will result for the particular design by direct numerical simulation. The evaluation of a new pleat design takes only a few hours on a standard PC compared to days or weeks used for manufacturing and testing a new prototype of a hydraulic lter. The design parameters are the shape of the pleat, the permeabilities of one or several layers of lter media and the geometry of a supporting netting structure that is used to keep the out ow area open. Besides the underlying structure generation and CFD technology, we present some trends regarding the dependence of pressure drop on design parameters that can serve as guide lines for the design of hydraulic lters. Compared to earlier two-dimensional models, the three-dimensional models can include a support structure.
Von der Bauplanung zur Gebäudebewirtschaftung: Ein integrales Bewertungs- und Transformationsmodell
(2009)
Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist der Entwurf eines integralen Bewertungs- und Transformationsmodells zur Integration der Gebäudebewirtschaftung in die Bauplanungsphase. Das Ziel der Untersuchung ist die Bildung eines Modells zur Identifizierung einer Bauplanungsvariante, die hinsichtlich ihrer späteren Nutzung bezüglich des Ressourcenverbrauchs, der Belastung für Mensch und Umwelt, der Durchführung von Bewirtschaftungsprozessen und bezüglich der Umgebungsressourcen eine optimierte Variante darstellt. Im ersten Teil der Arbeit werden nach einer kurzen Einführung zunächst die Motivation zur vorliegenden Arbeit, ihre Zielsetzung und die Grundlagen des Facility Management, der Bauplanung und Baukosten erläutert. Die ganzheitliche Betrachtung von Facility Management über den gesamten Lebenszyklus unter Berücksichtigung auch nicht monetärer Ziele wie Belastungsvermeidung oder Optimierung der Umgebungsressourcen macht eine eigene Neudefinition von Facility Management notwendig. Basis der weiteren Untersuchungen sind die entwickelten Übergeordneten Ziele des Facility Management. Zur Befriedigung der Übergeordneten Ziele des Facility Management muss Facility Management schon in der frühen Phase der Rahmen- und Nutzungsplanung und auf der funktional organisatorischen Bauplanungsebene integriert werden und muss die Interessen aller an Bau und Nutzung beteiligten integrieren. Der zweite Teil der Arbeit befasst sich mit der Integration von Facility Management in den Bauplanungsprozess. Dazu werden in einem ersten Schritt planungsabhängige Kosten und Leistungen des Facility Management identifiziert. Durch eine Analyse der Planungsabhängigkeiten der Übergeordneten Ziele des Facility Management wird aufgezeigt, wie Planungsobjekte identifiziert werden. Das entwickelte Transformationsmodell erlaubt die Transformation von Planungsobjekten zu Bewirtschaftungsobjekten, deren Variation in der Planungsphase die Bewirtschaftungsphase maßgeblich beeinflussen. Das erarbeitete Objektmodell zeigt im Sinne der Objektorientierung die Beziehungen der Bewirtschaftungsobjekte untereinander auf. Das Transformationsmodell bildet die Grundlage zur abschließenden Planungsbewertung anhand derer verschiedene Bauplanungsalternativen untereinander vergleichbar gemacht werden und hinsichtlich ihres Nutzwertes bezüglich der Bewirtschaftungsphase bewertet werden können.
Pflasterflächen bilden heute einen hohen Anteil der befestigten Siedlungsfläche. Dabei kommen diverse Pflastersysteme mit ganz unterschiedlichem VErsickerungsvermögen zum Einsatz. Die Quantifizierung des Abflussbeitrages der unterschiedlichen Befestigungsarten ist jedoch bislang mit erheblichen Unsicherheiten behaftet, da fundierte und ausreichend differenzierte Kennwerte zum Versickerungsvermögen fehlen. Im Rahmen der vorliegenden Forschungsarbeit wurde das Versickerungsvermögen gängiger Pflasterbauweisen systematisch untersucht. Den Kern der Untersuchung bilden mehrere hundert Messungen an Bestandflächen sowie im Labor. Im Zuge der Untersuchungen konnte eine Vielzahl gewinnbringender und teilweise neuer Erkenntnisse zur Charakterisierung und Quantifizierung des Versickerungsphänomens auf durchlässig befestigten Siedlungsflächen gewonnen und zur Ableitung substanzieller Anwendungsempfehlungen genutzt werden. Mit den erarbeiteten Versickerungskennwerten wird eine deutlich verbesserte und zugleich durch umfangreiche Messungen und Analysen abgesicherte Grundlage zur quantitativen Bewertung des Versickerungsvermögens bereit gestellt. Die Kennwerte tragen hierbei dem Einfluss wesentlicher Randbedingungen wie dem Eintrag von Feinpartikeln in den Fugenraum, der Niederschlagsintensität, dem Gefälle, der Liegezeit sowie der Nutzung Rechnung. Vielfach konnten anhand der Messwertanalysen Erkenntnisse früherer Untersuchungen bestätigt und mit messtechnisch abgesicherten Zahlenwerten untermauert werden. Ferner konnten für zahlreiche Belagsarten Häufigkeitsverteilungen des Versickerungsvermögens generiert werden, mit denen der ausgeprägte stochastische Charakter des Versickerungsverhaltens, der sich in einer enormen Variabilität des Versickerungsvermögens äußert, erstmals quantitativ umschrieben werden kann. Darüber hinaus wurde ein erster Schritt zu einer verbesserten urbanhydrologischen Erfassung des Abflussverhaltens versickerungsfähiger Siedlungsflächen getätigt. Neben der Ableitung von bauartspezifischen Abflussbeiwerten und Parameterempfehlungen zur Niederschlagsabflusssimulation wurde ein urbanhydrologischer Modellbaustein konzipiert. Die Infiltrationsprozesse werden hierbei über eine modifizierten Ansatz nach Horton/Paulsen abgebildet, bei dem die Berechnungsflächen in Teilflächen diskretisiert und mit nach Auftretenshäufigkeiten gestaffelten Parameterwerten verbunden werden. Der Ansatz hat sich als äußerst effektiv erwiesen und wird daher ausdrücklich zur weiteren programmtechnischen Umsetzung empfohlen.
Im Sommersemester 2008 führte die AG Optimierung, FB Mathematik zusammen mit dem FB Chemie und dem FB Pädagogik ein interdisziplinäres Seminar zur „Fachdidaktik Chemie und Mathematik“ durch. Durch dieses integrative Lehrveranstaltungskonzept sollte die Nachhaltigkeit der Ausbildung gestärkt und die Verknüpfung von Allgemeiner Didaktik mit der Fachdidaktik sowie zwischen verschiedenen Fachbereichen gefördert werden. In dieser speziellen Veranstaltung erarbeiteten sich die Teilnehmer Inhalte in der Schnittmenge von Chemie und Mathematik, nämlich Kristallgeometrie, Analysis und Titration sowie Graphentheorie und Trennverfahren. Ihre Erkenntnisse wurden im Rahmen von Seminarvorträgen präsentiert und ausgearbeitet. Im folgenden Report befinden sich die Ausarbeitungen, welche Lernziele und Kompetenzen, Sach-, Methodische und Didaktische Analysen sowie Unterrichtsentwürfe umfassen.
In der vorliegenden Arbeit werden experimentelle und theoretische Untersuchungen für die Löslichkeiten von Methan in den organischen Lösungsmitteln Petroleumbenzin, 1-Oktanol, n-Hexan und n-Dodekan sowie Untersuchungen des LW-H-V-Gleichgewichts des Systems (CH4 + H2O) vorgestellt. Im Vergleich zu den Vorhersageergebnissen von Sloan sowie Parrish und Praus-nitz wurde mit dem in der vorliegenden Arbeit weiterentwickelten, thermodynamischen Modell für das Hydratgleichgewicht des Systems (CH4 + H2O) durch Berücksichtigung des Dampf-Flüssigkeits-Gleichgewichts gerade im Bereich erhöhter Drücke eine wesentlich bessere Übereinstimmung der berechneten Hydratgleichgewichtsdrücke mit den Messdaten der vorliegenden Arbeit sowie mit Literaturdaten erreicht. Die Untersuchungen zur physikalischen Löslichkeit von Methan in den organischen Lö-sungsmitteln und Wasser wurden in einem Temperaturbereich von 273,2 K bis 293 K bei Ge-samtdrücken bis maximal 10 MPa durchgeführt. Die Ergebnisse wurden mit Rechenwerten verglichen, die mit dem in der vorliegenden Arbeit entwickelten Modell erhalten wurden. Die maximale Konzentration von Methan in der organischen Lösemittelphase betrug im System (CH4 + n-Hexan) bei max. 8,7 Mol CH4 pro Kilogramm Hexan. Dieses entspricht einer Beladung des Lösungsmittels von 140 Gramm Methan pro Kilogramm Hexan. Die Untersuchungen zur Löslichkeit von Kohlendioxid (CO2) und Schwefelwasser-stoff (H2S) in wässrigen Aminlösungen (Amine A, B, C, D) waren Teil einer Industriekooperation mit der BASF AG, Ludwigshafen. Ziel des Gesamtprojekts war es, ein bestehendes Aminsystem zu ersetzen. Die experimentellen Ergebnisse für die Löslichkeit von Kohlendi-oxid in diesen Aminmischungen liefern fundierte Grundlagen zur Thermodynamik solcher Lösungen in einem industriellen Absorptionsprozess. Die Untersuchungen am System (CO2 + MDEA + PIPH2 + H2O) stellen eine Weiter-entwicklung des von Pérez-Salado Kamps entwickelten thermodynamischen Modells dar. Die experimentellen Untersuchungen der vorliegenden Arbeit und von Speyer erweitern den Konzentrationsbereich dieses Modells und führten zu einer Neuparametrisierung im Hoch- und Niederdruckbereich. Dabei wurden auch Wechselwirkungen zwischen den aus MDEA und Piperazin entstehenden Spezies berücksichtigt. Die Korrelations- und Vorhersa-geergebnisse werden im Vergleich zu den Vorhersagen von Ermatchkov deutlich verbessert. Die Messungen erfolgten in einer Phasengleichgewichtsapparatur, die nach der synthetischen, d.h. mit bekannter Zusammensetzung des Lösungsmittels/-gemisches und bekannter Gasmenge, Methode arbeitet. Bei der experimentellen Vorgehensweise wurde die evakuierte Hochdrucksichtzelle mit dem zu lösenden Gas bei gemessenem Druck und konstanter Temperatur und einem Teil des Lösungsmittels befüllt. Mit einem Hochdruckverdränger wird gerade soviel Lösungsmittel in die Zelle nachgepresst, bis sich gerade eine homogene Phase bildet, d.h. bis keine Gasphase mehr sichtbar ist. Damit ist die gesamte Menge an Gas in der flüssi-gen Phase gelöst, allerdings liegt der Druck deutlich über dem Löslichkeitsdruck. Durch Entnehmen geringer Menge der Lösung (Herausdrehen der Verdrängerspindel) wird der Druck schrittweise gesenkt. Bei Erreichen der Siedelinie beginnt das Gas aus dem Lösungsmittel auszugasen. Der sich einzustellende Gleichgewichtsdruck ist derjenige Druck, der notwendig ist, um die gesamte Menge an Gas in der in die Zelle eingebrachte Lösungsmittelmenge zu lösen. Die Modellierung der gemessenen Gaslöslichkeiten erfolgte für die flüssigen Phasen mit dem von Edwards, Maurer und Newman modifizierten GE-Ansatz von Pitzer zur Be-rücksichtigung der Nichtidealitäten und Berechnung der Aktivitätskoeffizienten. Die Abweichungen von dem idealen Gasverhalten in der Gasphase wurden durch die Berech-nung der Fugazitätskoeffizienten mit der nach dem zweiten Koeffizienten abgebrochenen Virialgleichung ausgedrückt.