45Q05 Inverse problems
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This paper provides a brief overview of two linear inverse problems concerned with the determination of the Earth’s interior: inverse gravimetry and normal mode tomography. Moreover, a vector spline method is proposed for a combined solution of both problems. This method uses localised basis functions, which are based on reproducing kernels, and is related to approaches which have been successfully applied to the inverse gravimetric problem and the seismic traveltime tomography separately.
The main aim of this work was to obtain an approximate solution of the seismic traveltime tomography problems with the help of splines based on reproducing kernel Sobolev spaces. In order to be able to apply the spline approximation concept to surface wave as well as to body wave tomography problems, the spherical spline approximation concept was extended for the case where the domain of the function to be approximated is an arbitrary compact set in R^n and a finite number of discontinuity points is allowed. We present applications of such spline method to seismic surface wave as well as body wave tomography, and discuss the theoretical and numerical aspects of such applications. Moreover, we run numerous numerical tests that justify the theoretical considerations.
In this paper we construct spline functions based on a reproducing kernel Hilbert space to interpolate/approximate the velocity field of earthquake waves inside the Earth based on traveltime data for an inhomogeneous grid of sources (hypocenters) and receivers (seismic stations). Theoretical aspects including error estimates and convergence results as well as numerical results are demonstrated.
We show the numerical applicability of a multiresolution method based on harmonic splines on the 3-dimensional ball which allows the regularized recovery of the harmonic part of the Earth's mass density distribution out of different types of gravity data, e.g. different radial derivatives of the potential, at various positions which need not be located on a common sphere. This approximated harmonic density can be combined with its orthogonal anharmonic complement, e.g. determined out of the splitting function of free oscillations, to an approximation of the whole mass density function. The applicability of the presented tool is demonstrated by several test calculations based on simulated gravity values derived from EGM96. The method yields a multiresolution in the sense that the localization of the constructed spline basis functions can be increased which yields in combination with more data a higher resolution of the resulting spline. Moreover, we show that a locally improved data situation allows a highly resolved recovery in this particular area in combination with a coarse approximation elsewhere which is an essential advantage of this method, e.g. compared to polynomial approximation.
Die Bestimmung des Erdgravitationspotentials aus den Meßdaten des Forschungssatelliten CHAMP lässt sich als Operatorgleichung formulieren (SST-Problem). Dieser Ansatz geht davon aus, dass ein geometrischer Orbit des Satelliten CHAMP vorliegt. Mittels numerischer Differentiation unter Einsatz eines geeigneten Denoising Verfahrens kann dann aus dem geometrischen Orbit der Gradient des Potentials längs der Bahn bestimmt werden. Damit sind insbesondere die Radialableitung (und der Flächengradient) auf einem Punktgitter auf der Bahn bekannt. In einem erdfesten System stellt sich dies als eine nahezu vollständige Überdeckung der Erde (bis auf Polar Gaps) mit einem ziemlich dichten Datengitter auf Flughöhe des Satelliten dar. Die Lösung der SST-Operatorgleichung (Bestimmung des Potentials auf der Erdoberfläche aus Kenntnis der Radialableitung auf einem Datengitter auf Flughöhe) ist ein schlecht gestelltes inverses Problem, das mit einer geeigneten Regularisierungstechnik gelöst werden muß. Im vorliegenden Fall wurde eine solche Regularisierung mit Hilfe von nicht-bandlimitierten Regularisierungsskalierungsfunktionen und Regularisierungswavelets umgesetzt. Diese sind stark ortslokalisierend und führen daher auf ein Potentialmodell, welches eine Linearkombination stark ortslokalisierender Funktionen ist. Ein solches Modell kann als Lokalmodell auch aus nur lokalen Daten berechnet werden und bietet daher gegenüber Kugelfunktionsmodellen wie EGM96 erhebliche Vorteile für die moderne Geopotentialbestimmung. Die Diskretisierung und numerische Umsetzung der Berechnung eines solchen Modells erfolgt mit Splines, die hier ebenfalls Linearkombinationen stark ortslokalisierender Funktionen sind. Die großen linearen Gleichungssysteme, die zur Berechnung der glättenden oder interpolierenden Splines gelöst werden müssen, können auf schnelle und effiziente Weise mit dem Schwarzschen alternierenden Algorithmus in Verbindung mit schnellen Summationsverfahren (Fast Multipole Methods) gelöst werden. Eine Kombination des Schwarzschen alternierenden Algorithmus mit solchen schnellen Summationsverfahren ermöglicht eine weitere erhebliche Beschleunigung beim Lösen dieser Gleichungssysteme. Zur Bestimmung von Glättungsparametern (Spline-Smoothing) und Regularisierungsparametern kann die L-Curve Method zum Einsatz kommen.