In der nichtrelativistischen Schrödinger-Theorie hat sich die nach, H. A. Kramers und L. Brillouin benannte WKB - Näherung eine weitreichende Akzeptanz verschafft. Obwohl diese Methode meist nur als WKB-Methode bezeichnet wird, war von H. Jeffreys zuerst eine solche Näherungsmethode vorgestellt worden. Es liegt nahe, in einer relativistischen Theorie eine entsprechende Näherungsmethode zu diskutieren. Ich habe verschiedene semiklassische Näherungen für die radiale Dirac-Gleichung untersucht. Analytische und numerische Diskussionen der verschiedenen Methoden haben gezeigt, daß die Güte der Näherung wesentlich von der Entkopplung der Radialgleichung abhängt. Speziell für das Coulomb-Potential habe ich eine näherungsfreie Entkopplung entwickelt, welche zu einer WKB-Quantenbedingung führt, die mit der Feinstrukturformel von Sommerfeld übereinstimmt. Für viele physikalisch relevante Potentiale, welche das Coulomb-Potential nur leicht abändern, wird somit eine weitaus größere Genauigkeit als bei herkömmlichen WKB-Näherungen erster Ordnung erreicht. Außerdem habe ich höhere Korrekturen zur WKB-Näherung untersucht.
In der Arbeit werden effekte massiver Neutrinos untersucht. Durch Kombination von Ergebnissen einer theoretischen Rechnung und experimentellen Ergebnissen wird eine Schätzung der Neutrino Masse gewonnen.
Um stationäre bzw. quasi-stationäre Ohmsche Ströme in leitenden Medien berechnen zu können, wird aus komplexifizierten Maxwellschen Gleichungen mittels des Clifford Produktes eine vereinheitlichte hyperkomplexe Feldgleichung hergeleitet. Für, längs einer Achse translationsinvariante, komplexe Leitfähigkeitsfelder wird eine Dimension absepariert und die verbleibenden 2 Raumdimensionen mit der komplexen Zahlenebene identifiziert. Diese Identifikation kann durch den Clifford Formalismus explizit und völlig kanonisch definiert werden, da sowohl die komplexen Zahlen als auch Ortsvektoren in der Clifford Algebra enthalten sind. Da direkt die Spinor Feldgleichung gelöst wird, treten Eichprobleme, wie sie bei entsprechenden Potentialgleichungen üblich sind, erst gar nicht auf. Durch die Liftung der Spinor Feldgleichung vom \(\mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}^2\) wird sofort ersichtlich wie wichtig monogene (holomorphe) Funktionen für die Lösung dieser Gleichung sind.
Die zugehörige Randbedingung ist im allgemeinen weder rein vom Neumannschen noch vom Diricheltschen Typ. Ausgehend von elementaren Lösungen für \(\delta\)-Quellen in Gebieten konstanter Leitfähigkeit, werden durch Fortsetzung dieser Lösungen mittels der Randbedingung Feldlösungen für zusammengesetzte Gebiete konstruiert.
Im Gegensatz zu Gebieten mit nur einem Rand, ist es für mehrfach berandete Gebiete viel schwieriger, die lokalen Lösungen so anzupassen, daß alle Randbedingungen erfüllt sind. Deshalb wird eine neue Lösungsmethode vorgestellt, welche die lokalen Feldgleichungen und alle Randbedingungen durch sukzessive Konstruktion von Spiegelpolreihen löst. Dieses Verfahren wird anhand einiger Klassen von geometrischen Konfigurationen erläutert, deren topologische Unterschiede sich direkt auf die Struktur der Spiegelpolverteilungen auswirkt.
Bei der Diskussion wird besonders der Fall von N kreisförmigen Anomalien in einer Kreisscheibe hervorgehoben, da diese Klasse von Problemen auch von besonderem Interesse in der medizinischen Physik, im Bereich der Impedanz-Tomographie ist. Die Lösungen erlauben die Variation der Zusammenhangszahl über die relativen Leitfähigkeitsdifferenzen. Studien der Potentialverteilung auf dem Rand, wie sie für die elektrische Impedanz-Tomographie wesentlich sind, werden zum Teil durch numerische, als auch durch analytische Berechnungen durchgeführt. Komplexe Potentiale können aus den Feldlösungen leicht berechnet werden, indem die typischen Polterme \(\displaystyle{1 \over z-p}\) durch die komplexen Logarithmen \(- \log(z-p)\)
ersetzt werden.
Das elektrische Potential ergibt sich aus dem Komplexen als dessen Realteil. Der Imaginärteil hat eine große Bedeutung bei der Visualisierung der Vektorfelder. Es wird gezeigt, daß die Höhenlinien dieses Imaginärteils, der aus der Strömungsmechanik auch als Strömungsfunktion bekannt ist, gerade die Feldlinien des zugehörigen Feldes liefert.
Für die elektrische Impedanz-Tomographie wird am Beispiel einer kleinen, konzentrisch positionierten Anomalie das Auflösungsvermögen diskutiert, woraus unter anderem eine optimale Lage der Einprägepole resultiert. Aus den analytischen Ergebnissen ist eindeutig zu erkennen, daß sich maximale Potentialänderungen auf dem Rand bei diametral angeordneten Einprägepolen ergeben.
Die für die Visualisierung der Felder nötigen Studien von Strömungsfunktionen, lieferte unter anderem auch eine Berechnungsmöglichkeit von Strömungsfunktionen für Felder im \(\mathbb{R}^3\)! Des weitern wird eine mögliche Wahl der Schnitte dieser mehrblättrigen Funktion für den Fall der Kreisscheibe mit N Anomalien explizit gegeben und die Vorteile dieser speziellen Wahl anhand numerischer Studien aufgezeigt. Typische Darstellungen von Feld- und Potentiallinien, von Verteilungen von Spiegelpolen, sowie von Potential und Strömungsfunktionen selbst, verdeutlichen die Vorteile dieses Lösungsverfahrens. Für sehr viele, in der Praxis wichtige Konfigurationen ist vor allem die große Konvergenzgeschwindigkeit ein Vorteil, welcher es ermöglicht Feldlinienbilder dieser Lösungen in kurzer Zeit auf einem PC zu erstellen.
Diese Dissertation ist ein Beitrag zur Untersuchung der Anwendbarkeit der Random-Matrix-Theorie (RMT) in der Quantenchromodynamik (QCD). Untersucht werden die Fluktuationen der kleinen Eigenwerte des Dirac-Operators mit Kogut-Susskind-Fermionen und SUc(2)-Eichfeldern. Diese werden mit Hilfe eines Hybrid-Monte-Carlo-Algorithmus erzeugt. Die Universalität der Fluktuationen kleiner Eigenwerte, das heisst die Übereinstimmung der numerisch berechneten Spektren mit den Vorhersagen des chiralen Random-Matrix-Modells wird in dieser Arbeit nachgewiesen. Die Bedeutung dieses Resultats liegt in der Allgemeinheit des Ansatzes, die QCD-Zustandssumme für ein endliches Volumen durch ein Random-Matrix-Modell zu approximieren.
Diese Arbeit widmete sich der Aufgabe, quantitative Abschätzungen für Emissionsspektren eines geladenen Teilchens in starken äußeren Feldern zu liefern. Es wurde hierzu in Kapitel 2 der Weg beschritten, zuerst das System mit klassischer Dynamik zu beschreiben, wobei man unter Umständen aus den klassischen Hamilton'schen Bewegungsgleichungen analytische Ausdrücke ableiten kann, und mit diesen Ergebnissen die Grenzen abzustecken, innerhalb derer sich das Quantensystem entwickeln kann. Ähnlich wie bei dem in der Einleitung erwähnten Modell, das die Cutoff-Frequenz für ein Atomelektron aus semiklassischen Überlegungen ableitet, konnten hier für ein Bloch-Teilchen zwei Cutoff-Gesetze abgeleitet werden. Sie gingen aus Näherungen der Hamilton'schen Bewegungsgleichungen hervor, wenn die Bewegung entweder durch das Stark-Feld oder das zeitliche Wechselfeld beherrscht wird, und stimmten mit den numerischen Ergebnissen der klassischen Dynamik gut überein. Darüber hinaus konnten sie sogar die quantenmechanischen Resultate bestätigen, was von Bedeutung ist, da die Ableitung quantitativer Ausdrücke bei der Quantendynamik solcher zeitabhängiger Systeme sehr große Schwierigkeiten bereitet und meist nur numerisch - nicht analytisch - möglich ist. Im zweiten Teil der Arbeit (Kapitel 3) wurde mit dem Zwei-Niveau-System ein quantenmechanisches System behandelt, das aufgrund seiner einfacheren Stuktur analytische Ausdrücke zulässt. Hier wurde aus der Formel für den Erwartungwert des Dipolmoments ein Ausdruck abgeleitet, der die Größe des Plateaus im HHG-Spektrum bestimmt. Außerdem konnte man bei der näherungsweisen Berechnung des Spektrums mittels stationärer Phase zeigen, dass die Fluktuationen im Bereich des Plateaus durch die Überlagerung der Beiträge der beiden stationären Punkte verursacht wird.
Die Untersuchung von semiklassischen Näherungen des Zeitentwicklungsoperators in der Quantenmechanik ist sowohl von fundamentalem als auch von didaktischem Interesse. Das fundamentale Interesse ist in der Beschreibung des Zusammenhangs zwischen klassischer Mechanik und Quantenmechanik begründet, das didaktische erklärt sich aus dem anschaulichen Zugang, den die Beschreibung von quantenmechanischen Prozessen durch klassische Größen liefert. Besonders klar wird dieser Zusammenhang, wenn eine Phasenraumdarstellung der Quantenmechanik betrachtet wird. Eine erste semiklassische Näherung für den Propagator im Phasenraum, den sogenannten "coherent state"-Propagator, wurde von Klauder vorgestellt. Weissman motivierte diese Näherung durch die Erweiterung der semiklassischen Korrespondenzrelationen auf den Begriff der kohärenten Variablen. In späteren Veröffentlichungen wird auf eine rigorose Herleitung mittels Pfadintegralmethoden verwiesen, die aber bis zum heutigen Tage nicht verwirklicht wurde. Ein zentraler Punkt dieser Arbeit wird es sein, zum ersten Mal diese alternative Herleitung vollständig zu präsentieren. Die Eigenschaften der semiklassischen Näherung des Phasenraumpropagators wurden für eine Reihe fundamentaler Quantenprozesse untersucht. Ausgehend von der semiklassischen Näherung des Phasenraumpropagators ergibt sich durch eine Ortsraumdarstellung desselben der Herman-Kluk-Propagator. Dieser gehört zur Klasse der Anfangswertdarstellungen ("initial value representations", IVRs), die die sonst bei semiklassischen Näherungen auftretenden Schwierigkeiten wie Kaustiken, Singularitäten und beidseitige Randbedingungen für die zugrundeliegenden klassischen Bahnen umgehen. Dies erlaubt ihre Anwendung auch auf Quantensysteme, deren klassisches Äquivalent chaotische Phasenraumbereiche enthält. Erste Untersuchungen hierzu wurden in unserer Arbeitsgruppe Ende 1997 durchgeführt. Die Frage nach der Klärung grundsätzlicher Eigenschaften des verwendeten Propagators und der verwendeten Methode sowie die Beleuchtung des theoretischen Hintegrunds lieferten die Anregung für diese Arbeit. Zu dieser Arbeit: In dieser Arbeit wird die semiklassische Näherung für den Phasenraumpropagator und hierauf aufbauend der Herman-Kluk-Propagator hergeleitet und ihre Eigenschaften untersucht. Im einzelnen gliedert sich die Arbeit folgendermaßen: In einem ersten, einführenden Kapitel werden kurz die grundlegenden Begriffe aus den drei Gebieten der klassischen Mechanik, der Quantenmechanik und der Semiklassik erläutert. Das zweite Kapitel gibt einen Überblick über die semiklassische Theorie nach Miller und Weissman. Der zentrale Begriff ist hierbei der der Korrespondenzrelation, der einen direkten Zusammenhang zwischen klassischen Größen (erzeugenden Funtionen) und unitären Transformationen in der Quantenmechanik liefert. Ein Spezialfall dieser Korrespondenz ist der Zusammenhang zwischen der Zeitentwicklung eines quantenmechanischen kohärenten Zustands und der Evolution klassischer Bahnen. Im zentralen dritten Abschnitt wird erstmalig eine vollständige Herleitung des Phasenraumpropagators mittels Pfadintegralmethoden gegeben. Aus dieser Herleitung wird klar, daß eines der Probleme der Semiklassik in der Frage liegt, welche Hamiltonfunktion einem gegebenen Hamiltonoperator zuzuordnen ist. Auch der durch die semiklassischen Näherung eingeführte Fehler wird diskutiert. Anschließend wird aus dem "coherent state"-Propagator der Herman-Kluk-Propagator hergeleitet und dessen Eigenschaften besprochen. Das vierte Kapitel beschreibt in Vorgriff auf den letzten Abschnitt die numerische Implementierung des Herman-Kluk-Propagators und verschiedene Methoden zur Gewinnung von Energieeigenwerten eines Quantensystems. Hierzu wird eine phasenraumsensitive Integrationsroutine vorgestellt. Abschließend werden die Ergebnisse der numerischen Anwendung des Propagators auf verschiedene, charakteristische Quantensysteme vorgestellt und sowohl mit der exakten Quantenmechanik, als auch mit anderen semiklassischen Methoden verglichen. Dabei werden sowohl die Stärken, als auch die Schwächen dieser Methode deutlich werden.
Elektronen in einem kristallinen Festkörper oder, allgemeiner formuliert, Teilchen in einem räumlich periodischen Potential bilden ein System, das schon seit den Anfängen der Quantenmechanik von fundamentalem Interesse ist. Ein wichtiges physikalisches Problem ist dabei die Berechnung der quantenmechanischen Zustände solcher Teilchen, die zusätzlich einem homogenen elektrischen Feld ausgesetzt sind. Die exakte Lösung dieses Problems ist jedoch selbst für eindimensionale Systeme nicht möglich, da der Versuch einer analytischen Berechnung auf unüberwindliche mathematische Probleme stößt. Diese versuchte Wannier 1960 zu umgehen, indem er die nach ihm benannten Wannierzustände einführte. Mit seiner Veröffentlichung stieß er eine jahrzehntelange Diskussion an. Vor allem die Begriffe Blochoszillationen, Zener-Tunneln und Wannier-Stark-Quantisierung standen im Mittelpunkt einiger Kontroversen. Ein physikalisch wichtiges Ergebnis der Diskussion ist die Erkenntnis, daß es sich bei den Eigenzuständen des betrachteten Systems um Resonanzen, d.h. metastabile Zustände, handelt, die sich auf eine ganz bestimmte Art und Weise anordnen lassen. Jede Resonanzenergie ist nämlich Teil einer Folge von äquidistanten Energieeigenwerten, den sogenannten Wannier-Stark-Leitern. Die Wannier-Stark-Quantisierung wurde zuvor lange Zeit in Frage gestellt, denn Zak zeigte, daß der Hamiltonoperator des Systems ein kontinuierliches Spektrum besitzt und widersprach damit der Aussage, das Systeme habe diskrete Energieeigenwerte. Tatsächlich ist das Spektrum, wenn man nur die reelle Achse betrachtet, kontinuierlich. Die Diskretisierung ergibt sich erst, wenn man zur Betrachtung der komplexen Ebene übergeht. Den ersten experimentellen Hinweis auf die Existenz von Wannier-Stark-Leitern fand man in Versuchen zur optischen Absorption in einem Festkörperkristall. In jüngster Zeit wurde das Interesse an diesem Gebiet der Physik durch Experimente mit Halbleiter-Übergittern und optischen Gittern erneut geweckt, denn man findet hier weitere Realisierungen des untersuchten Hamiltonoperators. Insbesondere erweisen sich neutrale Atome in stehenden Laserwellen als geeignete Studienobjekte. Die Untersuchungen mit Hilfe dieser Experimente haben den Vorteil, daß sie nicht wie Versuche mit Elektronen in Festkörpern durch spezifische Probleme wie Gitterfehler, Verunreinigungen, Phonon-Elektron-Wechselwirkung, Elektron-Elektron-Wechselwirkung, etc. gestört werden. Genauer gesagt, viele theoretische Aussagen über das System lassen sich erst durch das Fehlen der festkörpereigenen Störeinflüsse experimentell überprüfen. Andererseits lösen die neuen Ergebnisse der Experimentalphysik eine Weiterentwicklung der zugehörigen Theorie aus. Den Ausgangspunkt der Untersuchungen zu dieser Thematik in unserer Arbeitsgruppe bildete die Entwicklung einer effizienten Methode zur Berechnung von Wannierzuständen. Anschließend wurden verschiedene Aspekte des Wannier-Stark-Systems betrachtet, u.a. die Auswirkungen eines zusätzlichen zeitperiodischen äußeren Feldes, wie es beispielsweise im Experiment auftaucht. Die vorliegende Arbeit soll in diesem Zusammenhang klären, wie die Lebensdauer der Wannier-Stark-Resonanzen durch den periodischen Antrieb beeinflußt wird.
In der vorliegenden Arbeit wird die Methode der Molekulardynamik benutzt, um das Transmissionsverhalten von niederenergetischen Sauerstoffionen durch dünne Edelgasfilme mit Hilfe von klassischen Wechselwirkungs-Potentialen zu untersuchen. In einer quantenmechanischen Form, der sogenannten Tight-Binding Näherung, wird die Molekulardynamik verwendet, um die Dynamik des Phasenübergangs von der Flüssigkeit, oder vom Gas, zur amorphen Phase von Silizium, oder von hydrogenisiertem Silizium, zu untersuchen. Ich simuliere ein Experiment von N. J. Sack et. al., in dem Sauerstoffionen durch Elektronenbeschuß von einer WOx-Oberfläche desorbiert wurden und deren Transmissionsverhalten durch dünne Edelgasfilme gemessen wurde. Wenn in der Simulation nur elastische Streuung durch Paarpotentiale zugelassen wird, finde ich gute Übereinstimmung für die Transmissionsausbeuten zwischen Experiment und Simulation für Xe- und Kr-Filme. Die große Anzahl der gefundenen Transmissionen kann auf den kleinen Wechselwirkungsradius der Sauerstoffionen zurückgeführt werden. Die Diskrepanz zwischen Experiment und Simulation, die für Ar-Filme zu verzeichnen ist, wird auf elektronisch inelastische Wechselwirkungen oder strukturelle Effekte im Experiment zurückgeführt. In einem einfachen geometrischen Modell kann ich die Transmissions-Daten der Simulation für Xe- und Kr- Filme interpretieren, nicht jedoch die Daten für Ar-Filme. Dieses geometrische Modell wird dann zur Interpretation eines weiteren, ähnlichen Experiments von N. J. Sack et. al. herangezogen. Neue dynamische Gleichungen für klassische und quantenmechanische Molekulardynamik im kanonischen - , Enthalpie - und freien Enthalpie Ensemble werden vorgeschlagen. Ich zeige, daß Atome, die in den neuen dynamischen Gleichungen in der Zeit propagiert werden, die Phasenraum-Verteilungsfunktionen der entsprechenden Ensembles korrekt abtasten. Basierend auf einem verallgemeinerten Liouville Theorem werden numerische Integrations-Algorithmen entwickelt, die die fundamentalen Symmetrieen der dynamischen Gleichungen respektieren. Silizium gehört zu den am besten studierten Materialien überhaupt. In theoretischen Untersuchungen wird flüssiges und amorphes Silizium üblicherweise ohne Kontrolle des Drucks untersucht. In dieser Arbeit wird gezeigt, daß Druckkontrolle in der Beschreibung sowohl einer thermodynamischen Phase als auch in Phasenübergängen in der Simulation wichtig ist. Der Übergang von der flüssigen zur amorphen Phase von Silizium in einer Tight-Binding Beschreibung mit und ohne Druckkontrolle führt zu Strukturen, die halbleitend mit Druckkontrolle und nicht halbleitend ohne Druckkontrolle sind. Weiterhin werden Evidenzen gefunden, die die Erweiterung der üblichen minimalen Valenzbasis des Siliziums durch d-Orbitale nahelegen, um korrekte Resultate speziell für flüssiges Silizium zu erhalten. Amorphes hydrogenisiertes Silizium ist technisch wichtig, da die Bandlücke durch Wasserstoffgehalt und Herstellung beeinflußt werden kann. In dieser Arbeit wird ein mikroskopisches Modell für amorphes Silizium, erhalten durch Abkühlung eines Silizium-Wasserstoff Gases, mit Hilfe der Molekulardynamik in einer Tight-Binding Beschreibung simuliert. Die Rolle des Wasserstoffs im amorphen Netzwerk wird mit Hilfe einer Vielzahl von Korrelationsfunktionen aufgezeigt. Diese Korrelationsfunktionen demonstrieren die hohe Flexibilität des Wasserstoffs. In Übereinstimmung mit neueren NMR-Daten von Y. Wu et. al finde ich im amorphen Netzwerk eine Klusterung der Wasserstoffatome, die die Tendenz zweier Wasserstoffatome reflektiert unabgesättigte Silizium Bindung, die sich ohne Wasserstoff zu ungünstigen Bindungsgeometrien vereinigen würden, zu passivieren.
Semiklassische Näherung der radialen Dirac-Gleichung
(1992)
