80-XX CLASSICAL THERMODYNAMICS, HEAT TRANSFER (For thermodynamics of solids, see 74A15)
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Faculty / Organisational entity
Das vorliegende Buch soll den Studenten der Natur- und Ingenieurwissenschaften
mit den Grundlagen der Thermodynamik vertraut machen und an prägnanten
Beispielen mit ausführlichen Lösungen zeigen, wie konkrete Probleme anzugehen
sind. Die Begriffe Temperatur und Wärme entsprechen der Alltagserfahrung. An-
ders als in der Mechanik und Elektrodynamik ist es jedoch erst nach 1900 zu einer
mathematisch tragfähigen Formulierung der Thermodynamik gekommen. Dies liegt
vor allem daran, daß sie alltägliche Vorgänge der Vielteilchenphysik beschreibt, die
ihrer Natur nach statistischen Unbestimmtheiten unterliegen. Deshalb besitzt die
Thermodynamik eine andere mathematische Struktur als etwa die Mechanik und
wird im Prinzip erst durch die statistische Mechanik vollständig beschrieben, die
makroskopische Eigenschaften aus den mikroskopischen molekularen Eigenschaften
herleitet. Demgegenüber interessieren in den technischen Anwendungen vor allem
die Beziehungen zwischen makroskopischen Mittelwerten, wobei Abweichungen von
diesen Mittelwerten nur gelegentlich eine Rolle spielen. In der Thermodynamik
gelingt es, die für die Anwendungen wichtigsten statistischen Sachverhalte bereits
durch zwei Größen nämlich Temperatur und Entropie darzustellen, ohne die mikro-
skopischen Eigenschaften der Moleküle heranziehen zu müssen. Die beiden Größen
lassen sich über wenige Erfahrungstatsachen (Hauptsätze) der makroskopischen Phy-
sik widerspruchsfrei einführen. Für die meisten Anwendungen in der technischen
Thermodynamik und physikalischen Chemie erweist sich diese makroskopische
Beschreibung als hinreichend.
Das Buch besteht aus vier Teilen:
Teil I befaßt sich mit den Grundbegriffen der Thermodynamik. Sie werden für
die Gleichgewichtszustände der Systeme über die vier Hauptsätze (Null bis drei)
eingeführt. Die Hauptsätze reichen aus, um die Rolle der Temperatur und der
thermodynamischen Potentiale zu verstehen und das physikalische Verhalten am
absoluten Nullpunkt herzuleiten. Die Anwendungen sind so ausgewählt, daß die we-
sentlichen Begriffsbildungen an charakteristischen Beispielen aus den verschiedenen
Spezialgebieten der Thermodynamik geklärt werden.
Teil II behandelt die Thermodynamik irreversibler Prozesse. Hier wird die lineare
Theorie der Ausgleichsvorgänge in räumlich inhomogenen Systemen beschrieben.
Diese Systeme werden als Vereinigung vieler kleiner homogener Materialelemen-
te mit Konvektionsbewegung dargestellt, von denen sich jedes in einem inneren
Gleichgewicht im Sinne von Teil I befindet. Aus der Unterschiedlichkeit der Gleichge-
wichtsparameter ergeben sich dann Näherungen für den Zeitverlauf des Ausgleichs-
vorgangs. Auf diese Weise entsteht eine zeitabhängige Kontinuumsthermodynamik,
die für die meisten praktischen Anwendungen hinreichend ist. Dabei sind die Phä-nomene der thermischen Schwankungen vernachlässigt, die man bei sehr kleinen
Materialelementen gesondert beachten muß.
Teil III erläutert deshalb die thermischen Schwankungen. Hier werden die statis-
tischen Methoden soweit besprochen, als es für Verständnis und Beurteilung der
Schwankungen notwendig ist. Eine zentrale Rolle spielt dabei das Schwankungs-
-Dissipations Theorem, welches die Höhe und Breite der mittleren Fluktuation
abschätzt. Darüberhinaus stellt Teil III den Zusammenhang zwischen Thermodyna-
mik und klassischer Mechanik des Vielteilchensystems auf Basis der statistischen
Mechanik der Gleichgewichtsphänomene dar. Hier wird der statistische Hintergrund
der thermodynamischen Potentiale und der Temperatur erläutert.
Teil IV enthält die ausführlichen Lösungen aller Aufgaben.
Das Buch ist auch zum Nachschlagen für Physiker, Chemiker und Lehrer geeignet.
Mathematisch werden nur Kenntnisse der Differential- und Integralrechnung sowie
der Vektoranalysis vorausgesetzt. Zur Orientierung in der Vielfalt der Spezialgebiete
werden Hinweise zu Lehrbüchern der technischen Thermodynamik und physikali-
schen Chemie gegeben. Die Tabellen im Anhang stellen dem Leser einige für die
Praxis wichtige Daten direkt zur Verfügung.
Optimal control of partial differential equations is an important task in applied mathematics where it is used in order to optimize, for example, industrial or medical processes. In this thesis we investigate an optimal control problem with tracking type cost functional for the Cattaneo equation with distributed control, that is, \(\tau y_{tt} + y_t - \Delta y = u\). Our focus is on the theoretical and numerical analysis of the limit process \(\tau \to 0\) where we prove the convergence of solutions of the Cattaneo equation to solutions of the heat equation.
We start by deriving both the Cattaneo and the classical heat equation as well as introducing our notation and some functional analytic background. Afterwards, we prove the well-posedness of the Cattaneo equation for homogeneous Dirichlet boundary conditions, that is, we show the existence and uniqueness of a weak solution together with its continuous dependence on the data. We need this in the following, where we investigate the optimal control problem for the Cattaneo equation: We show the existence and uniqueness of a global minimizer for an optimal control problem with tracking type cost functional and the Cattaneo equation as a constraint. Subsequently, we do an asymptotic analysis for \(\tau \to 0\) for both the forward equation and the aforementioned optimal control problem and show that the solutions of these problems for the Cattaneo equation converge strongly to the ones for the heat equation. Finally, we investigate these problems numerically, where we examine the different behaviour of the models and also consider the limit \(\tau \to 0\), suggesting a linear convergence rate.