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Induktionsschweißen kann sowohl für das Schweißen von thermoplastischen Faser-
Kunststoff-Verbunden als auch für das Verbinden von Metall/Faser-Kunststoff-
Verbunden eingesetzt werden. Nach Betrachtung der Möglichkeiten einer solchen
Verbindung wurde festgestellt, dass die Verbindungsqualität durch die
Oberflächenvorbehandlung des metallischen und des polymeren Fügepartners und
durch die Prozessbedingungen bestimmt wird.
Verschiedene neue Werkzeuge (z.B. spezielle Probenhalterungen, temperierbarer
Anpressstempel, Erwärmungs- und Konsolidierungsrolle) wurden entwickelt und in
die Induktionsschweißanlage zur Herstellung von Metall/Faser-Kunststoff-Verbunden
integriert. Topografische Analysen mittels Rasterelektronenmikroskopie und
Laserprofilometrie zeigen einen großen Einfluss der Vorbehandlungsmethoden auf
die Oberflächenrauhigkeit. Zusätzlich ändert die Vorbehandlung die physikalischen
(Oberflächenenergie) und die chemischen Eigenschaften (Atomkonzentration). Die
Eigenschaften der Verbindungen wurden zuerst anhand von Zugscherprüfungen und
parallel durch Oberflächenanalysen untersucht. Die Ergebnisse dieser
Untersuchungen zeigen:
• Die Vorbehandlungsmethoden Korundstrahlen und Sauerbeizen führen bei
dem metallischen Fügepartner zu den höchsten Verbundfestigkeiten. Die
Atmosphären-Plasmareinigung des polymeren Fügepartners ergibt eine
Zunahme der Zugscherfestigkeit von ca. 10 % sowie auch eine Verkleinerung
des Vertrauensbereiches.
• Die Zugscherfestigkeit hängt vom Prozessdruck und damit vom Fließverhalten
des Polymers in der Fügezone ab.
• Die Orientierung der Prüfkraft relativ zur Faserorientierung hat keinen Einfluss
auf die Zugscherfestigkeit der eingesetzten faserverstärkten Materialien.
• Die Leinwand-Bindung, mit mehr polymerreichen Zonen, führt zu einem
geringen Anstieg der Zugscherfestigkeit im Vergleich zu einer Atlas 1/4-
Bindung. Die Gelege-Struktur ergibt durch Faserverschiebungen ähnliche
Festigkeiten wie die Leinwand-Bindung. Es zeigt sich, dass die
Verbundfestigkeit durch das Polymer bestimmt wird. • Die Zugscherfestigkeit gewinnt einen großen Anstieg durch eine zusätzliche
Polymerfolie in der Fügezone. Die Schliffbilder zeigen eine polymere
Zwischenschichtdicke von 5 bis 20 μm für AlMg3-CF/PA66.
• Durch den gezielten Einsatz verschiedener Vorbehandlungsmethoden
(Korundstrahlen mit zusätzlichem Polymer) kann die Zugscherfestigkeit auf bis
zu 14 MPa für AlMg3-CF/PA66-Verbunde und 18 MPa für DC01-CF/PEEKVerbunde
gegenüber dem unbehandelten Zustand verdoppelt werden. Weitere Untersuchungen an den Prozessparametern ergaben für DC01-CF/PEEKVerbunde,
dass folgende Einstellungen zu einer weiteren Steigerung der
Zugscherfestigkeit auf 19 MPa führen:
• Eine Starttemperatur des Anpresstempels von 370 °C.
• Eine Haltezeit von 7 Minuten.
• Eine Abkühlrate von 6 °C/min.
Für AlMg3-CF/PA66 zeigte sich, dass eine Anpresstemperatur von 10 °C zu einer
Zugscherfestigkeit von 14,5 MPa führt. Diese beiden Zugscherfestigkeiten sind
lediglich 10 – 15 % geringer als die unter optimalen Bedingungen hergestellten
Klebeverbindungen.
Erste Untersuchungen zeigen, dass bei galvanischer Korrosion von Metall/FKVVerbunden
eine schnelle Abnahme der Zugscherfestigkeit erfolgt. Hierfür wurden die
Proben drei Wochen in Wasser gelagert. Beim direkten Kontakt zwischen
Kohlenstofffaser und Aluminium erklärt sich dies durch Korrosion in der Fügezone.
Dabei sinken die Zugscherfestigkeiten der Proben bis auf 5 MPa. Bei Proben mit
einer Glasfaserlage als Isolationsschicht zeigen sich keine Korrosionsprodukte und
die Zugscherfestigkeit nimmt um 30 % bis auf 8 – 9 MPa ab.
Bei in Salzwasser gelagerten Proben ist die galvanische Korrosion deutlich stärker
ausgeprägt. Bereits nach einer Woche besitzen die acetongereinigten Proben mit
zusätzlichem Polymer lediglich eine Restzugscherfestigkeit von 3 bis 4 MPa. Die
korundgestrahlten Proben zeigen Korrosionsprodukte am Rande der Fügezone und
in der Fügezone, weisen aber dennoch eine Zugscherfestigkeit von ca. 10 MPa auf.
Die glasfaserverstärkten Proben zeigen weder Korrosionsprodukte noch eine
Abnahme der Zugscherfestigkeit. Dynamisch thermografische Analysen wurden in verschiedenen Umgebungsgasen
durchgeführt, um die Zersetzungstemperatur des faserverstärkten Polymers zu
bestimmen. Im Falle von CF/PA66 führte dies nicht zu einer Vergrößerung des
Prozessfensters, da die Zersetzung hauptsächlich thermisch und nicht thermooxidativ
ist. Die festgestellte Zersetzungstemperatur von CF/PEEK in Luft betrug
550 °C. Die Vergrößerung des Prozessfensters ist für CF/PA66 gering und zeigte
auch keinen Anstieg in der Zugscherfestigkeit nach dem Schweißen in Stickstoff.
Trotzdem hat das Induktionsschweißen unter Schutzgas ein großes Potential für
gesättigte Kohlenwasserstoffe wie z.B. glasfaserverstärktes Polypropylen. Hier wurde
die Zersetzungstemperatur von 230 °C in Luft auf 390 °C in Stickstoff erhöht.
Es wurde ein Demonstrator bestehend aus einem Aluminium-Profil und einer
CF/PA66-Platte hergestellt, womit gezeigt werden konnte, dass die erworbenen
Kenntnisse auch für die industrielle Anwendung umsetzbar sind. Mittels analytischer
Modelle und FE-Berechnungen wurde die induktive Erwärmung erfolgreich
nachgebildet.
Sewn net-shape preform based composite manufacturing technology is widely
accepted in combination with liquid composite molding technologies for the
manufacturing of fiber reinforced polymer composites. The development of threedimensional
dry fibrous reinforcement structures containing desired fiber orientation
and volume fraction before the resin infusion is based on the predefined preforming
processes. Various preform manufacturing aspects influence the overall composite
manufacturing processes. Sewing technology used for the preform manufacturing
has number of challenges to overcome which includes consistency in preform quality,
composite quality, and composite mechanical properties.
Experimental studies are undertaken to investigate the influence of various sewing
parameters on the preform manufacturing processes, preform quality, and the fiber
reinforced polymer composite quality and properties. Sewing thread, sewing machine
parameters, shortcomings of sewing process, and remedies are explained according
to their importance during preforming and liquid composite molding. The stitches and
fiber free zone in the form of ellipse that are generated in the thickness direction were
investigated by evaluating the laminate micrographs. Correlation between ellipse
formation phenomenon, sewing thread, and sewing machine parameters is
established. A statistical tool, analysis of variance, was used to emphasize the major
preform processing factors influencing the preform imperfections.
For assessing the preform quality, the observations of sewing thread requirements
for preform and structural sewing were well documented during the experimental
studies and explained according to their significance in the composite processing.
Furthermore, selection criteria for sewing thread according to end application are
discussed in detail. Investigations on polyester sewing thread as a high speed
preform manufacturing element are also performed. Applicability of polyester sewing
thread for the preform sewing and challenges to be overcome for its extensive
utilization in the composite components are explained. Apart from this, influence of
physical structure of sewing thread on the laminate quality and properties are
explained and relationship between them is discussed in brief. Furthermore,
challenges caused due to applied spin-finishes and sizing and remedies for the same
are discussed. Sewing threads made of high performance fibers that are available in the market,
e.g., carbon, glass, and Zylon are studied for effect of thread material on through-thethickness
laminate properties. Threads made up of carbon or glass fibers are very
rigid and produces number of defects, which is a major cause of concern. Optimized
sewing procedure has been implemented to minimize the in-plane and through-thethickness
imperfections and to improve mechanical properties and surface
characteristics of composite laminate.
Preform sewing process and final ready to impregnate preforms were analyzed for
quality appearance. The sewing defects and their influence on composite structure
are monitored. Preform compressibility before and after the sewing operations are
intensively studied and correlation with sewing parameters is developed. Influence of
sewing process parameters on the warpage and change in preform area weight are
also explained in detail. Results of analytical experiments can help to improve further
exploitation of sewn preforms for composite manufacturing and overall preform and
laminate quality.
Im Zuge der steigenden Anzahl von Einsatzmöglichkeiten der
Faserverbundwerkstoffe in den verschiedensten Industriebereichen spielt die
Entwicklung bzw. Weiterentwicklung neuer und effektiverer Verarbeitungstechniken
eine bedeutende Rolle.
Dabei findet derzeit das Harzinjektionsverfahren (LCM) ausschließlich für kleinere bis
mittlere Stückzahlen seinen Einsatz. Aufgrund der sehr großen Stückzahlen im
Automobilbereich, ist dieses Verfahren hier zurzeit weniger interessant. Daher
werden große Anstrengungen unternommen, das Harzinjektionsverfahren besonders
für solche Bauteile attraktiver zu machen, die gegenwärtig mit Hilfe des Prepreg-
Verfahrens hergestellt werden. Dabei spielt die Reduktion der hier vergleichsweise
hohen Zykluszeit eine tragende Rolle. Die Dauer eines Zyklus wird hierbei
hauptsächlich durch die Vorbereitung und Herstellung der Verstärkungsstruktur
(Preform) sowie durch die Bestückung des Werkzeuges bestimmt. Diese so
genannte Preform-Technik weist daher ein sehr großes Entwicklungspotential auf,
mit dem Ziel, solche Verstärkungsstrukturen herzustellen, die nach der Injektion
keine Nacharbeit erfordern. Solche Strukturen werden auch als „net shape, ready-toimpregnate“-
Preform bezeichnet. Die hierfür notwendigen Techniken stammen
vornehmend aus der Textilindustrie, wie z.B. die direkte Preformtechnik, das Nähen
oder Kleben (Binder-Technik).
Ziel der vorliegenden Dissertation ist es, die Möglichkeiten der Nähtechnik bezogen
auf die Herstellung der Preforms zu untersuchen. Hierfür werden die verschiedenen
Naht- und Verbindungsarten hinsichtlich ihres Einsatzes in der Preformtechnik, wie
die Fixier- und Positionier-, die Füge- oder Verbindungsnaht und die Montagenaht,
untersucht.
Im Rahmen dieser Arbeit wurde zunächst innerhalb einer Studie zur „net shape“-
Preformtechnik eine Versteifungsstruktur entwickelt und hergestellt. Diese Struktur
soll dabei der Veranschaulichung der Möglichkeiten und Einsatzbereiche der
Nähtechnik bei der Preformtechnologie dienen. Zudem kann so ein mehrstufiger
Preformherstellungsprozess demonstriert werden. Ferner zeigt diese Studie, dass
ein hochgradiger, automatisierter Prozess, welcher zudem eine durchgängige
Qualitätskontrolle ermöglicht, realisiert werden konnte. Als ein weiterer Schritt wurde ein Prozess zur Herstellung eine dreidimensionalen
Preform, der die Anwendung verschiedener thermoplastischer,
niedrigtemperaturschmelzender Nähgarne zulässt, ausgearbeitet. Hierbei wurden die
Vorteile der Näh- und der Binder-Technologie miteinander verbunden. Außerdem
konnte durch die bereits formstabile und imprägnierungsfertige Preformstruktur, die
Bestückung des Werkzeuges wesentlich vereinfacht werden. Um die mechanischen
Eigenschaften der Preforms bestimmen zu können, wurden quantitative
Messmethoden erarbeitet. Hierdurch konnten anschließend die Einflüsse der
Orientierung sowie der Stichdichte ermittelt werden. Zudem wurden die folgenden
drei grundlegenden Eigenschaften untersucht: die spezifische Biegesteifigkeit, der so
genannte Rückspringwinkel sowie die Rückstellkraft nach dem Thermoformen
hinsichtlich der verschiedenen Nähtypen.
Um dies zu ergänzen, wurden weiterführende Untersuchungen zu den
Materialeigenschaften der Nähfäden, die bei der dreidimensionalen Preformtechnik
eingesetzt werden können, durchgeführt. Dabei ist neben der niedrigen
Schmelztemperatur die vollständige Auflösbarkeit der Nähgarne in den ungesättigten
Polyester- und Epoxidharzen besonders wichtig. Auf Grund dieser vollständigen
Auflösung der Fäden in der Matrix können die Stichlöcher wieder vollkommen
verschlossen werden. Dadurch kann eine Reduktion des Einflusses solcher
Stichlöcher auf die mechanischen Eigenschaften des Faserverbundwerkstoffes
erreicht werden. Mit Hilfe dieser Untersuchungen wurden schließlich zwei polymere
Nähgarne als vielversprechend beurteilt. Diese weisen eine Schmelztemperatur von
weniger als 100 °C sowie eine gute Lösbarkeit, besonders im Harzsystem RTM 6,
auf.
In der Preformtechnik werden die Nähte nicht nur als Positionier- oder Montagenaht
eingesetzt, sondern können in einer Struktur als auch als Verstärkungselement, eine
so genannte Verstärkungsnaht, verwendet werden. Der Zweck einer solchen Naht ist
die interlaminare Verstärkung von monolitischen oder Sandwichstrukturen. Zudem
besteht die Möglichkeit, diese zur Fixierung von metallischen Funktionselementen
(Inserts) in den Faserverbundwerkstoff zu benutzen. Hinsichtlich diese Möglichkeiten
wurden im Rahmen dieser Arbeit erfolgreich Untersuchung durchgeführt. Dabei
wiesen die eingenähten Krafteinleitungselemente in durchgeführten statischen
Zugversuchen eine annähernd 200 % höhere maximale Zugkraft verglichen mit
entsprechenden Elementen (BigHead®), die nicht durch eine Naht fixiert wurden. Weitere Untersuchungen zeigten auch, dass eine doppelte Naht nicht eine
proportionale Verdoppelung der maximal erreichbaren Zugkraft bewirkt. Der Grund
hierfür liegt an einer partiellen Zerstörung des vorhandenen Nähgarns der ersten
Naht begründet durch den doppelten Einstich in die bereits bestehenden Löcher
beim mehrmaligen Durchlaufen der Nadel. Der größte Verstärkungseffekt konnte
schließlich bei der interlaminaren Einbettung und der Vernähung des Insert erreicht
werden. In diesem Fall kann eine Delamination, wie sie bei lediglich interlaminar
eingebetteten Inserts auftritt, verhindert werden.
Zusätzlich wurden statische Scherversuche durchgeführt, um auch in diesem
Belastungsfall die Versagensart zu untersuchen. Dabei stellte sich heraus, dass nicht
die Nähte sondern der Insert versagte. Auf Grund des Materialbruchs des Inserts,
sowohl in Zug- als auch in Scherversuchen, wurde in einem weiteren Schritt ein
optimiertes Insert entwickelt. Bei diesem wurde der Sockel in soweit modifiziert, dass
die maximale Versagenslast des Nähgarns ermittelt werden konnte. Dabei stellte
sich heraus, dass Glas-, Kohlenstoff- und Aramidfasern sich nur bedingt als
Verstärkungsgarn zur Fixierung von Inserts eignen. Im Gegensatz dazu sind die
Polyestergarne als ausreichende Verstärkung gut geeignet. Weitere Vorteile des
Polyestergarns sind die niedrigeren Kosten sowie die gute Vernähbarkeit.
Anschließend wurde eine solche Verbindung des Inserts mit einem
Faserverbundwerkstoff mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode (FEM) simuliert. Dabei
zeigte sich eine gute Übereinstimmung der simulierten Ergebnisse mit denen aus
dem statischen Zugversuch mit dem weiterentwickelten Insert.
Auf Grund der elektrischen Leitfähigkeit von Kohlenstofffasern, können Fäden aus
diesem Material auch als Sensoren zur Überwachung einer Struktur oder Verbindung
eingesetzt werden. Hierfür wurden ebenfalls Untersuchungen durchgeführt. Dabei
konnte mit Hilfe der Änderung des elektrischen Widerstandes auf Schädigungen der
Fasern geschlossen werden. Somit können nicht nur das Bestehen einer
Schädigung, sondern auch der annähernde Ort ermittelt werden. Die
Untersuchungen zeigten somit, dass die Kohlenstofffasern nicht lediglich als
Verstärkung sondern auch als Überwachungssensor bei einem eingebetteten Insert
dienen können.
Im Rahmen aller Untersuchungen konnte das große und vielversprechende Potential
der Nähtechnik bei der Herstellung von Preform-Bauteilen aufgezeigt sowie ein
Einblick in einige von vielen Anwendungsmöglichkeiten gegeben werden.
The broad engineering applications of polymers and composites have become the
state of the art due to their numerous advantages over metals and alloys, such as
lightweight, easy processing and manufacturing, as well as acceptable mechanical
properties. However, a general deficiency of thermoplastics is their relatively poor
creep resistance, impairing service durability and safety, which is a significant barrier
to further their potential applications. In recent years, polymer nanocomposites have
been increasingly focused as a novel field in materials science. There are still many
scientific questions concerning these materials leading to the optimal property
combinations. The major task of the current work is to study the improved creep
resistance of thermoplastics filled with various nanoparticles and multi-walled carbon
nanotubes.
A systematic study of three different nanocomposite systems by means of
experimental observation and modeling and prediction was carried out. In the first
part, a nanoparticle/PA system was prepared to undergo creep tests under different
stress levels (20, 30, 40 MPa) at various temperatures (23, 50, 80 °C). The aim was
to understand the effect of different nanoparticles on creep performance. 1 vol. % of
300 nm and 21 nm TiO2 nanoparticles and nanoclay was considered. Surface
modified 21 nm TiO2 particles were also investigated. Static tensile tests were
conducted at those temperatures accordingly. It was found that creep resistance was
significantly enhanced to different degrees by the nanoparticles, without sacrificing
static tensile properties. Creep was characterized by isochronous stress-strain curves,
creep rate, and creep compliance under different temperatures and stress levels.
Orientational hardening, as well as thermally and stress activated processes were
briefly introduced to further understanding of the creep mechanisms of these
nanocomposites. The second material system was PP filled with 1 vol. % 300 nm and 21 nm TiO2
nanoparticles, which was used to obtain more information about the effect of particle
size on creep behavior based on another matrix material with much lower Tg. It was
found especially that small nanoparticles could significantly improve creep resistance.
Additionally, creep lifetime under high stress levels was noticeably extended by
smaller nanoparticles. The improvement in creep resistance was attributed to a very
dense network formed by the small particles that effectively restricted the mobility of
polymer chains. Changes in the spherulite morphology and crystallinity in specimens
before and after creep tests confirmed this explanation.
In the third material system, the objective was to explore the creep behavior of PP
reinforced with multi-walled carbon nanotubes. Short and long aspect ratio nanotubes
with 1 vol. % were used. It was found that nanotubes markedly improved the creep
resistance of the matrix, with reduced creep deformation and rate. In addition, the
creep lifetime of the composites was dramatically extended by 1,000 % at elevated
temperatures. This enhancement contributed to efficient load transfer between
carbon nanotubes and surrounding polymer chains.
Finally, a modeling analysis and prediction of long-term creep behaviors presented a
comprehensive understanding of creep in the materials studied here. Both the
Burgers model and Findley power law were applied to satisfactorily simulate the
experimental data. The parameter analysis based on Burgers model provided an
explanation of structure-to-property relationships. Due to their intrinsic difference, the
power law was more capable of predicting long-term behaviors than Burgers model.
The time-temperature-stress superposition principle was adopted to predict long-term
creep performance based on the short-term experimental data, to make it possible to
forecast the future performance of materials.
In recent years, nanofiller-reinforced polymer composites have attracted considerable
interest from numerous researchers, since they can offer unique mechanical,
electrical, optical and thermal properties compared to the conventional polymer
composites filled with micron-sized particles or short fibers. With this background, the
main objective of the present work was to investigate the various mechanical
properties of polymer matrices filled with different inorganic rigid nanofillers, including
SiOB2B, TiOB2B, AlB2BOB3B and multi-walled carbon nanotubes (MWNT). Further, special
attention was paid to the fracture behaviours of the polymer nanocomposites. The
polymer matrices used in this work contained two types of epoxy resin (cycloaliphatic
and bisphenol-F) and two types of thermoplastic polymer (polyamide 66 and isotactic
polypropylene).
The epoxy-based nanocomposites (filled with nano-SiOB2B) were formed in situ by a
special sol-gel technique supplied by nanoresins AG. Excellent nanoparticle
dispersion was achieved even at rather high particle loading. The almost
homogeneously distributed nanoparticles can improve the elastic modulus and
fracture toughness (characterized by KBICB and GBICB) simultaneously. According to
dynamic mechanical and thermal analysis (DMTA), the nanosilica particles in epoxy
resins possessed considerable "effective volume fraction" in comparison with their
actual volume fraction, due to the presence of the interphase. Moreover, AFM and
high-resolution SEM observations also suggested that the nanosilica particles were
coated with a polymer layer and therefore a core-shell structure of particle-matrix was
expected. Furthermore, based on SEM fractography, several toughening
mechanisms were considered to be responsible for the improvement in toughness,
which included crack deflection, crack pinning/bowing and plastic deformation of
matrix induced by nanoparticles.
The PA66 or iPP-based nanocomposites were fabricated by a conventional meltextrusion
technique. Here, the nanofiller content was set constant as 1 vol.%. Relatively good particle dispersion was found, though some small aggregates still
existed. The elastic modulus of both PA66 and iPP was moderately improved after
incorporation of the nanofillers. The fracture behaviours of these materials were
characterized by an essential work fracture (EWF) approach. In the case of PA66
system, the EWF experiments were carried out over a broad temperature range
(23~120 °C). It was found that the EWF parameters exhibited high temperature
dependence. At most testing temperatures, a small amount of nanoparticles could
produce obvious toughening effects at the cost of reduction in plastic deformation of
the matrix. In light of SEM fractographs and crack opening tip (COD) analysis, the
crack blunting induced by nanoparticles might be the major source of this toughening.
The fracture behaviours of PP filled with MWNTs were investigated over a broad
temperature range (-196~80 °C) in terms of notched impact resistance. It was found
that MWNTs could enhance the notched impact resistance of PP matrix significantly
once the testing temperature was higher than the glass transition temperature (TBgB) of
neat PP. At the relevant temperature range, the longer the MWNTs, the better was
the impact resistance. SEM observation revealed three failure modes of nanotubes:
nanotube bridging, debonding/pullout and fracture. All of them would contribute to
impact toughness to a degree. Moreover, the nanotube fracture was considered as
the major failure mode. In addition, the smaller spherulites induced by the nanotubes
would also benefit toughness.
Tropical geometry is a very new mathematical domain. The appearance of
tropical geometry was motivated by its deep relations to other mathematical
branches. These include algebraic geometry, symplectic geometry, complex
analysis, combinatorics and mathematical biology.
In this work we see some more relations between algebraic geometry and
tropical geometry. Our aim is to prove a one-to-one correspondence between
the divisor classes on the moduli space of n-pointed rational stable curves
and the divisors of the moduli space of n-pointed abstract tropical curves.
Thus we state some results of the algebraic case first. In algebraic geometry
these moduli spaces are well understood. In particular, the group of divisor
classes is calculated by S. Keel. We recall the needed results in chapter one.
For the proof of the correspondence we use some results of toric geometry.
Further we want to show an equality of the Chow groups of a special toric
variety and the algebraic moduli space. Thus we state some results of the
toric geometry as well.
This thesis tries to discover some connection between algebraic and tropical
geometry. Thus we also need the corresponding tropical objects to the
algebraic objects. Therefore we give some necessary definitions such as fan,
tropical fan, morphisms between tropical fans, divisors or the topical moduli
space of all n-marked tropical curves. Since we need it, we show that the
tropical moduli space can be embedded as a tropical fan.
After this preparatory work we prove that the group of divisor classes in
v
classical algebraic geometry has it equivalence in tropical geometry. For this
it is useful to give a map from the group of divisor classes of the algebraic
moduli space to the group of divisors of the tropical moduli space. Our aim is
to prove the bijectivity of this map in chapter three. On the way we discover
a deep connection between the algebraic moduli space and the toric variety
given by the tropical fan of the tropical moduli space.
The scope of this diploma thesis is to examine the four generations of asset pricing models and the corresponding volatility dynamics which have been devepoled so far. We proceed as follows: In chapter 1 we give a short repetition of the Black-Scholes first generation model which assumes a constant volatility and we show that volatility should not be modeled as constant by examining statistical data and introducing the notion of implied volatility. In chapter 2, we examine the simplest models that are able to produce smiles or skews - local volatility models. These are called second generation models. Local volatility models model the volatility as a function of the stock price and time. We start with the work of Dupire, show how local volatility models can be calibrated and end with a detailed discussion of the constant elasticity of volatility model. Chapter 3 focuses on the Heston model which represents the class of the stochastic volatility models, which assume that the volatility itself is driven by a stochastic process. These are called third generation models. We introduce the model structure, derive a partial differential pricing equation, give a closed-form solution for European calls by solving this equation and explain how the model is calibrated. The last part of chapter 3 then deals with the limits and the mis-specifications of the Heston model, in particular for recent exotic options like reverse cliquets, Accumulators or Napoleons. In chapter 4 we then introduce the Bergomi forward variance model which is called fourth generation model as a consequence of the limits of the Heston model explained in chapter 3. The Bergomi model is a stochastic local volatility model - the spot price is modeled as a constant elasticity of volatility diffusion and its volatility parameters are functions of the so called forward variances which are specified as stochastic processes. We start with the model specification, derive a partial differential pricing equation, show how the model has to be calibrated and end with pricing examples and a concluding discussion.
This technical report contains the preliminary versions of the regular papers presented at the first workshop on Verification of Adaptive Systems (VerAS) that has been held in Kaiserslautern, Germany, on September 14th, 2007 as part of the 20th International Conference on Theorem Proving in Higher Order Logics. The final versions will be published with Elsevier's Electronic Notes on Theoretical Computer Science (ENTCS). VerAS is the first workshop that aims at considering adaptation as a cross-cutting system aspect that needs to be explicitly addressed in system design and verification. The program committee called for original submissions on formal modeling, specification, verification, and implementation of adaptive systems. There were six submissions from different countries of Europe. Each submission has been reviewed by three programme committee members. Finally, the programme committee decided to accept three of the six submissions. Besides the presentations of the regular papers, the workshop's programme included a tutorial on the `Compositional Verification of Self-Optimizing Mechatronic Systems' held by Holger Giese (University of Paderborn, Germany) as well as three presentations of DASMOD projects on the verification of adaptive systems.
This technical report is the Emerging Trends proceedings of the 20th International Conference on Theorem Proving in Higher Order Logics (TPHOLs 2007), which was held during 10-13 September in Kaiserslautern, Germany. TPHOLs covers all aspects of theorem proving in higher order logics as well as related topics in theorem proving and verification.
In this thesis we classify simple coherent sheaves on Kodaira fibers of types II, III and IV (cuspidal and tacnode cubic curves and a plane configuration of three concurrent lines). Indecomposable vector bundles on smooth elliptic curves were classified in 1957 by Atiyah. In works of Burban, Drozd and Greuel it was shown that the categories of vector bundles and coherent sheaves on cycles of projective lines are tame. It turns out, that all other degenerations of elliptic curves are vector-bundle-wild. Nevertheless, we prove that the category of coherent sheaves of an arbitrary reduced plane cubic curve, (including the mentioned Kodaira fibers) is brick-tame. The main technical tool of our approach is the representation theory of bocses. Although, this technique was mainly used for purely theoretical purposes, we illustrate its computational potential for investigating tame behavior in wild categories. In particular, it allows to prove that a simple vector bundle on a reduced cubic curve is determined by its rank, multidegree and determinant, generalizing Atiyah's classification. Our approach leads to an interesting class of bocses, which can be wild but are brick-tame.