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Extensions of Shallow Water Equations The subject of the thesis of Michael Hilden is the simulation of floods in urban areas. In case of strong rain events, water can flow out of the overloaded sewer system onto the street and damage the connected houses. The dependable simulation of water flow out of a manhole ("manhole") and over a curb ("curb") is crucial for the assessment of the flood risks. The incompressible 3D-Navier-Stokes Equations (3D-NSE) describe the free surface flow of water accurately, but require expensive computations. Therefore, the less CPU-intensive (factor ca.1/100) Shallow Water Equations (SWE) are usually applied in hydrology. They can be derived from 3D-NSE under the assumption of a hydrostatic pressure distribution via depth-integration and are applied successfully in particular to simulations of river flow processes. The SWE-computations of the flow problems "manhole" and "curb" differ to the 3D-NSE results. Thus, SWE need to be extended appropriately to give reliable forecasts for flood risks in urban areas within reduced computational efforts. These extensions are developed based on physical considerations not considered in the classical SWE. In one extension, a vortex layer on the ground is separated from the main flow representing its new bottom. In a further extension, the hydrostatic pressure distribution is corrected by additional terms due to approximations of vertical velocities and their interaction with the flow. These extensions increase the quality of the SWE results for these flow problems up to the quality level of the NSE results within a moderate increase of the CPU efforts.
Bei diskontinuierlich faserverstärkten Kunststoffen kann sowohl während des Compoundierens wie auch bei der Verarbeitung zum Fertigteil, durch Wechselwirkung zwischen den Fasern, der Fasern mit Maschinenkomponenten oder auch mit Zusatzstoffen (beispielsweise Farbpigmenten) eine Faserschädigung auftreten. Diese Interaktionen zeigen sich deutlich in der Abnahme der im Bauteil vorhandenen mittleren Faserlänge. Eine Überprüfung der Faserfestigkeit war bisher, auf Grund fehlender geeigneter Prüfmethoden bei den geringen Schlankheitsgraden bereits verarbeiteter Fasern, nicht oder nur eingeschränkt möglich. Mit einem am Lehrstuhl RPE entwickelten Mikrofaserbiegeversuch gelingt es, die Einzelfaserfestigkeit experimentell zu bestimmen. Dies bietet somit die Möglichkeit, das Schädigungsverhalten der meist spröden und kerbempfindlichen Fasermaterialien über die Verarbeitung hinweg zu untersuchen und zu quantifizieren. Da die (Rest-)Faserfestigkeit in diskontinuierlich verstärkten Bauteilen nun bestimmt werden kann, ist eine Lücke bei Berechnungen geschlossen, und das Wissen über Wirkzusammenhänge der Faserschädigung wird erweitert. Aufbau der Arbeit: In den Vorbetrachtungen zu dieser Arbeit werden zunächst kurz die Grundzusammenhänge zur Steifigkeits- und Festigkeitssteigerung der diskontinuierlich faserverstärkten Kunststoffe angesprochen und anschließend bestehende Modellvorstellungen zur Faserverstärkung bei Kunststoffen vorgestellt. Nachdem der Wissensstand zu bestehenden Messtechniken der mechanischen Fasercharakterisierung aufgezeigt ist, wird die entwickelte Messmethode des Dreipunktbiegeversuchs zur Faserfestigkeitsbestimmung ausführlich vorgestellt und deren Möglichkeiten und Einschränkungen diskutiert. Es folgt die Erläuterung der Notwendigkeit und der Vorgehensweise der statistischen Absicherung von Kennwerten spröder Verstärkungsfasern sowie die Vorgehensweise der Kennwertumrechnung auf reale Belastungen. Den Hauptteil bilden die einzelnen Untersuchungen mit jeweils anschließender Diskussion und Zusammenfassung. Abschließend werden die Ergebnisse der Arbeit in einer ausführlichen Zusammenfassung erläutert. Durchgeführte Untersuchungen: Ein Schwerpunkt der Arbeit bildet die Überprüfung des Einflusses von Farbpigmenten, welche zur Einfärbung technischer Kunststoffe verwendet werden, auf die Eigenschaften diskontinuierlich kurz- und langfaserverstärkter Thermoplaste und BMC. Die Literatur beschreibt diesen Sachverhalt der teilweise drastischen Festigkeits- und Zähigkeitsminderung bei Einfärbung von FKV nur phänomenologisch oder führt die Effekte alleinig auf Wechselwirkungen Pigment/Matrix zurück, wobei dies zu einem unvollständigen und zumindest teilweise auch falschen Bild der Wirkzusammenhänge führt. Der Schädigungsverlauf der Fasern bei Einfärbung mit Pigmenten, deren Härte über der des Faserwerkstoffs liegt, wird quantitativ über die Verarbeitungsschritte hinweg bis zum Prüfkörper dargestellt. Durch die Kenntnis der Faserschwächung in Verbindung mit dem verarbeitungsbedingt nun verstärkten Faserbruch kann der Verlust an Verbundeigenschaften erklärt werden. Über die Vielzahl der Untersuchungen gelingt es, die Wirkzusammenhänge empirisch zu beschreiben und Erklärungsansätze zu geben. Dabei wurden die Messreihen systematisch aufeinander aufbauend durchgeführt und Zusammenhänge herausgearbeitet. Zwar sind die Untersuchungen oft grundsätzlichen Charakters und dienen eher der Evaluierung einer Vorstellung zum Schädigungsverlauf, dennoch wurde auf die Anwendungsbezogenheit Wert gelegt. Die Kenntnis der grundlegenden Wirkzusammenhänge bietet die Möglichkeit, Regeln und Maßnahmen zur Vermeidung übermäßiger Faserschädigung bei der Kunststoffeinfärbung abzuleiten. Ergebnisse werden beispielhaft an Rechnungen, die sich an bestehenden Modellen zu Festigkeit und Energieaufnahme der diskontinuierlich faserverstärkten Kunststoffe orientieren, überprüft und diskutiert. Grundlage ist hierbei die Bruchfestigkeit der Faser bei Zugbelastung. Da die an Einzelfasern durchgeführten Biegeversuche „nur“ Biegebruchspannungen ergeben, wird ein Verfahren beschrieben, mit dem es gelingt, von gegebenen Biegefestigkeiten in entsprechende Zugfestigkeiten umzurechnen. Der Zusammenhang wird über die effektiv belastete Faseroberfläche im Mikrobiegeversuch gegenüber der entsprechenden Fläche bei Zugbelastung geliefert. Basis der statistischen Kennwertberechnung ist hierbei die Weibullverteilung. Sie liefert eine exponentielle Verteilungsfunktion der Festigkeiten spröder Werkstoffe und ist auch für die Betrachtung der überwiegend behandelten Glasfilamente gut geeignet. Nach dem Prinzip „des schwächsten Gliedes“ geht demnach das Versagen des beobachteten Volumens vom größten Defekt innerhalb desselben aus. Voraussetzung der Anwendbarkeit ist hierbei, dass der Bruch des Materials von statistisch homogen verteilten Defekten einer Art ausgeht und nur Zugversagen auftritt (die homogene Defektverteilung bietet die Grundlage der Übertragung auf das Bauteil und damit das größere Volumen). Weitere Untersuchungen liefern Beiträge zum Recycling faserverstärkter Kunststoffe. So wird der hydrolytische Faserfestigkeitsabbau bei Kühlerwasserkästen aus PA6-GF35 betrachtet und eine Untersuchung der Faserfestigkeit nach dem SMC-Recycling (Partikelrecyclingverfahren) vorgestellt.
In dieser Arbeit wurde die modulierte Kristallstruktur der komplexionischen Verbindung trans-Tetraamminaquahydroxorhodium(III)-diperchlorat (1) eingehend mit Hilfe der Röntgenbeugung untersucht. Verbindung 1 bildet eine modulierte Kristallstruktur aus, in der sich die periodische Abweichung von der Grundstruktur kontinuierlich mit der Temperatur ändert. Die Periode der Modulationswelle kann kommensurabel oder inkommensurabel zu den Perioden des Translationengitters der Grundstruktur sein. Durch mehrere Röntgenbeugungsexperimente bei verschiedenen Temperaturen konnte der durch die Modulationswelle hervorgerufene Symmetrieabbau im Translationengitter der Kristallstruktur von 1 verfolgt werden. Der zur Lösung und Verfeinerung modulierter Strukturen von de Wolff, Janssen und Janner entwickelte (3+d)-dimensionale Überraumformalismus wurde anhand der Strukturen der eindimensional kommensurabel modulierten Tieftemperaturphase und der inkommensurabel modulierten Raumtemperaturphase von 1 exemplarisch diskutiert. Die Diskussion der Ergebnisse aus den temperaturabhängigen Beugungsexperimenten liefert einen Erklärungsansatz für die Entstehung der modulierten Struktur von 1. In der Kristallstruktur der Raum- und Tieftemperaturphase von 1 sind die Komplexkationen über [H3O2]--Gruppen zu eindimensionalen Ketten verknüpft. Die sehr starken Wasserstoffbrückenbindungen in den [H3O2]--Brücken scheinen bei dem Passungsproblem, das der modulierten Kristallstruktur von 1 zu Grunde liegt, eine Schlüsselrolle zu spielen. Diese Arbeit stellt einen Beitrag zu dem aktuellen Forschungsgebiet der aperiodischen Kristalle dar.
Die vorliegende Arbeit behandelt Algorithmen zur nichtlinearen statischen und dynamischen Analyse von rotationssymmetrischen Schalenstrukturen aus Stahlbeton. Hierzu werden die Grundlagen eines zweiaxialen Stahlbetonmodells beschrieben, das die Erfassung von Vorschädigungen erlaubt. Dieses Modell findet Berücksichtigung innerhalb einer geometrisch und physikalisch nichtlinearen Flächentragwerkstheorie, die im Rahmen einer inkrementell iterativen FE-Formulierung für ein doppelt gekrümmtes Schalenringelement unter Herleitung sämtlicher Elementbeiträge umgesetzt wird. Somit wird ein wichtiger Beitrag zur allgemeinen Theorie und Numerik von Ringelementen geleistet. Ferner wird zur Lösung des nichtlinearen Bewegungsdifferentialgleichungssystems die Anpassung von bekannten Zeitintegrationsverfahren an das Ringelementkonzept vorgeführt; ein weiterer wesentlicher neuartiger Aspekt besteht darüber hinaus in der Verwendung modaler Lösungsverfahren mit Berücksichtigung von Nichtlinearitäten bei inkrementell iterativer Bestimmung der Beteiligungsfaktoren. Im Mittelpunkt der baupraktischen Anwendung der vorgestellten Elemente und Algorithmen steht die Auslegung von Rotationsschalen gegen Erdbebeneinwirkungen. Hierbei werden insbesondere an ausgewählten Beispielen des konstruktiven Ingenieurbaus wie am Spezialfall eines Naturzugkühlturms nichtlineare dynamische Effekte aufgezeigt und erläutert sowie deren Konsequenzen auf die Tragwerksauslegung erörtert.
The thesis discusses discrete-time dynamic flows over a finite time horizon T. These flows take time, called travel time, to pass an arc of the network. Travel times, as well as other network attributes, such as, costs, arc and node capacities, and supply at the source node, can be constant or time-dependent. Here we review results on discrete-time dynamic flow problems (DTDNFP) with constant attributes and develop new algorithms to solve several DTDNFPs with time-dependent attributes. Several dynamic network flow problems are discussed: maximum dynamic flow, earliest arrival flow, and quickest flow problems. We generalize the hybrid capacity scaling and shortest augmenting path algorithmic of the static network flow problem to consider the time dependency of the network attributes. The result is used to solve the maximum dynamic flow problem with time-dependent travel times and capacities. We also develop a new algorithm to solve earliest arrival flow problems with the same assumptions on the network attributes. The possibility to wait (or park) at a node before departing on outgoing arc is also taken into account. We prove that the complexity of new algorithm is reduced when infinite waiting is considered. We also report the computational analysis of this algorithm. The results are then used to solve quickest flow problems. Additionally, we discuss time-dependent bicriteria shortest path problems. Here we generalize the classical shortest path problems in two ways. We consider two - in general contradicting - objective functions and introduce a time dependency of the cost which is caused by a travel time on each arc. These problems have several interesting practical applications, but have not attained much attention in the literature. Here we develop two new algorithms in which one of them requires weaker assumptions as in previous research on the subject. Numerical tests show the superiority of the new algorithms. We then apply dynamic network flow models and their associated solution algorithms to determine lower bounds of the evacuation time, evacuation routes, and maximum capacities of inhabited areas with respect to safety requirements. As a macroscopic approach, our dynamic network flow models are mainly used to produce good lower bounds for the evacuation time and do not consider any individual behavior during the emergency situation. These bounds can be used to analyze existing buildings or help in the design phase of planning a building.
The main two problems of continuous-time financial mathematics are option pricing and portfolio optimization. In this thesis, various new aspects of these major topics of financial mathematics will be discussed. In all our considerations we will assume the standard diffusion type setting for securitiy prices which is today well-know under the term "Black-Scholes model". This setting and the basic results of option pricing and portfolio optimization are surveyed in the first chapter. The next three chapters deal with generalizations of the standard portfolio problem, also know as "Merton's problem". Here, we will always use the stochastic control approach as introduced in the seminal papers by Merton (1969, 1971, 1990). One such problem is the very realistic setting of an investor who is faced with fixed monetary streams. More precisely, in addition to maximizing the utility from final wealth via choosing an investment strategy, the investor also has to fulfill certain consumption needs. Also the opposite situation, an additional income stream can now be taken into account in our portfolio optimization problem. We consider various examples and solve them on one hand via classical stochastic control methods and on the other hand by our new separation theorem. This together with some numerical examples forms Chapter 2. Chapter 3 is mainly concerned with the portfolio problem if the investor has different lending and borrowing rates. We give explicit solutions (where possible) and numerical methods to calculate the optimal strategy in the cases of log utility and HARA utility for three different modelling approaches of the dependence of the borrowing rate on the fraction of wealth financed by a credit. The further generalization of the standard Merton problem in Chapter 4 consists in considering simultaneously the possibilities for continuous and discrete consumption. In our general approach there is a possibility for assigning the different consumption times different weights which is a generalization of the usual way of making them comparable via discounting. Chapter 5 deals with the special case of pricing basket options. Here, the main problem is not path-dependence but the multi-dimensionality which makes it impossible to give usuefull analytical representations of the option price. We review the literature and compare six different numerical methods in a systematic way. Thereby we also look at the influence of various parameters such as strike, correlation, forwards or volatilities on the erformance of the different numerical methods. The problem of pricing Asian options on average spot with average strike is the topic of Chapter 6. We here apply the bivariate normal distribution to obtain an approximate option price. This method proves to be very reliable and e±cient for the valuation of different variants of Asian options on average spot with average strike.
The focus of this work has been to develop two families of wavelet solvers for the inner displacement boundary-value problem of elastostatics. Our methods are particularly suitable for the deformation analysis corresponding to geoscientifically relevant (regular) boundaries like sphere, ellipsoid or the actual Earth's surface. The first method, a spatial approach to wavelets on a regular (boundary) surface, is established for the classical (inner) displacement problem. Starting from the limit and jump relations of elastostatics we formulate scaling functions and wavelets within the framework of the Cauchy-Navier equation. Based on numerical integration rules a tree algorithm is constructed for fast wavelet computation. This method can be viewed as a first attempt to "short-wavelength modelling", i.e. high resolution of the fine structure of displacement fields. The second technique aims at a suitable wavelet approximation associated to Green's integral representation for the displacement boundary-value problem of elastostatics. The starting points are tensor product kernels defined on Cauchy-Navier vector fields. We come to scaling functions and a spectral approach to wavelets for the boundary-value problems of elastostatics associated to spherical boundaries. Again a tree algorithm which uses a numerical integration rule on bandlimited functions is established to reduce the computational effort. For numerical realization for both methods, multiscale deformation analysis is investigated for the geoscientifically relevant case of a spherical boundary using test examples. Finally, the applicability of our wavelet concepts is shown by considering the deformation analysis of a particular region of the Earth, viz. Nevada, using surface displacements provided by satellite observations. This represents the first step towards practical applications.
Diese Arbeit gehört in die algebraische Geometrie und die Darstellungstheorie und stellt eine Beziehung zwischen beiden Gebieten dar. Man beschäftigt sich mit den abgeleiteten Kategorien auf flachen Entartungen projektiver Geraden und elliptischer Kurven. Als Mittel benutzt man die Technik der Matrixprobleme. Das Hauptergebnis dieser Dissertation ist der folgende Satz: SATZ. Sei X ein Zykel projektiver Geraden. Dann gibt es drei Typen unzerlegbarer Objekte in D^-(Coh_X): - Shifts von Wolkenkratzergarben in einem regulären Punkt; - Bänder B(w,m,lambda), - Saiten S(w). Ganz analog beweist man die Zahmheit der abgeleiteten Kategorien vieler assoziativer Algebren.
The central theme in this thesis concerns the development of enhanced methods and algorithms for appraising market and credit risks and their application within the context of standard and more advanced market models. Generally, methods and algorithms for analysing market risk of complex portfolios involve detailed knowledge of option sensitivities, the so-called "Greeks". Based on an analysis of symmetries in financial market models, relations between option sensitivities are obtained, which can be used for the efficient valuation of the Greeks. Mainly, the relations are derived within the Black Scholes model, however, some relations are also valid for more general models, for instance the Heston model. Portfolios are usually influenced by lots of underlyings, so it is necessary to characterise the dependencies of these basic instruments. It is usual to describe such dependencies by correlation matrices. However, estimations of correlation matrices in practice are disturbed by statistical noise and usually have the problem of rank deficiency due to missing data. A fast algorithm is presented which performs a generalized Cholesky decomposition of a perturbed correlation matrix. In contrast to the standard Cholesky algorithm, an advantage of the generalized method is that it works for semi-positive, rank deficient matrices as well. Moreover, it gives an approximative decomposition when the input matrix is indefinite. A comparison with known algorithms with similar features is performed and it turns out, that the new algorithm can be recommended in situations where computation time is the critical issue. The determination of a profit and loss distribution by Fourier inversion of its characteristic function is a powerful tool, but it can break down when the characteristic function is not integrable. In this thesis, methods for Fourier inversion of non-integrable characteristic functions are studied. In this respect, two theorems are obtained which are based on a suitable approximation of the unknown distribution with known density and characteristic function. Further it will be shown, that straightforward Fast Fourier inversion works, when the according density lives on a bounded interval. The above techniques are of crucial importance to determine the profit and loss distribution (P&L) of large portfolios efficiently. The so-called Delta Gamma normal approach has become industrial standard for the estimation of market risk. It is shown, that the performance of the Delta Gamma normal approach can be improved substantially by application of the developed methods. The same optimization procedure also applies to the Delta Gamma Student model. A standard tool for computing the P&L distribution of a loan portfolio is the CreditRisk+ model. Basically, the CreditRisk+ distribution is a discrete distribution which can be computed from its probability generating function. For this a numerically stable method is presented and as an alternative, a new algorithm based on Fourier inversion is proposed. Finally, an extension of the CreditRisk+ model to market risk is developed, which distribution can be obtained efficiently by the presented Fourier inversion methods as well.
The thesis deals with the subgradient optimization methods which are serving to solve nonsmooth optimization problems. We are particularly concerned with solving large-scale integer programming problems using the methodology of Lagrangian relaxation and dualization. The goal is to employ the subgradient optimization techniques to solve large-scale optimization problems that originated from radiation therapy planning problem. In the thesis, different kinds of zigzagging phenomena which hamper the speed of the subgradient procedures have been investigated and identified. Moreover, we have established a new procedure which can completely eliminate the zigzagging phenomena of subgradient methods. Procedures used to construct both primal and dual solutions within the subgradient schemes have been also described. We applied the subgradient optimization methods to solve the problem of minimizing total treatment time of radiation therapy. The problem is NP-hard and thus far there exists no method for solving the problem to optimality. We present a new, efficient, and fast algorithm which combines exact and heuristic procedures to solve the problem.