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We analyze the regular oblique boundary problem for the Poisson equation on a C^1-domain with stochastic inhomogeneities. At first we investigate the deterministic problem. Since our assumptions on the inhomogeneities and coefficients are very weak, already in order to formulate the problem we have to work out properties of functions from Sobolev spaces on submanifolds. An further analysis of Sobolev spaces on submanifolds together with the Lax-Milgram lemma enables us to prove an existence and uniqueness result for weak solution to the oblique boundary problem under very weak assumptions on coefficients and inhomogeneities. Then we define the spaces of stochastic functions with help of the tensor product. These spaces enable us to extend the deterministic formulation to the stochastic setting. Under as weak assumptions as in the deterministic case we are able to prove the existence and uniqueness of a stochastic weak solution to the regular oblique boundary problem for the Poisson equation. Our studies are motivated by problems from geodesy and through concrete examples we show the applicability of our results. Finally a Ritz-Galerkin approximation is provided. This can be used to compute the stochastic weak solution numerically.
Die Grundgleichungen der Physikalischen Geodäsie (in der klassischen Formulierung) werden einer Multiskalenformulierung mittels (sphärisch harmonischer) Wavelets unterzogen. Die Energieverteilung des Störpotentials wird in Auflösung nach Skala und Ort durch Verwendung von Waveletvarianzen beschrieben. Schließlich werden zur Modellierung der zeitlichen Variationen des Schwerefeldes zeit- und ortsgebundene Energiespektren zur Detektion lokaler sowie periodischer/saisonaler Strukturen eingeführt.
Die Bestimmung des Erdgravitationspotentials aus den Meßdaten des Forschungssatelliten CHAMP lässt sich als Operatorgleichung formulieren (SST-Problem). Dieser Ansatz geht davon aus, dass ein geometrischer Orbit des Satelliten CHAMP vorliegt. Mittels numerischer Differentiation unter Einsatz eines geeigneten Denoising Verfahrens kann dann aus dem geometrischen Orbit der Gradient des Potentials längs der Bahn bestimmt werden. Damit sind insbesondere die Radialableitung (und der Flächengradient) auf einem Punktgitter auf der Bahn bekannt. In einem erdfesten System stellt sich dies als eine nahezu vollständige Überdeckung der Erde (bis auf Polar Gaps) mit einem ziemlich dichten Datengitter auf Flughöhe des Satelliten dar. Die Lösung der SST-Operatorgleichung (Bestimmung des Potentials auf der Erdoberfläche aus Kenntnis der Radialableitung auf einem Datengitter auf Flughöhe) ist ein schlecht gestelltes inverses Problem, das mit einer geeigneten Regularisierungstechnik gelöst werden muß. Im vorliegenden Fall wurde eine solche Regularisierung mit Hilfe von nicht-bandlimitierten Regularisierungsskalierungsfunktionen und Regularisierungswavelets umgesetzt. Diese sind stark ortslokalisierend und führen daher auf ein Potentialmodell, welches eine Linearkombination stark ortslokalisierender Funktionen ist. Ein solches Modell kann als Lokalmodell auch aus nur lokalen Daten berechnet werden und bietet daher gegenüber Kugelfunktionsmodellen wie EGM96 erhebliche Vorteile für die moderne Geopotentialbestimmung. Die Diskretisierung und numerische Umsetzung der Berechnung eines solchen Modells erfolgt mit Splines, die hier ebenfalls Linearkombinationen stark ortslokalisierender Funktionen sind. Die großen linearen Gleichungssysteme, die zur Berechnung der glättenden oder interpolierenden Splines gelöst werden müssen, können auf schnelle und effiziente Weise mit dem Schwarzschen alternierenden Algorithmus in Verbindung mit schnellen Summationsverfahren (Fast Multipole Methods) gelöst werden. Eine Kombination des Schwarzschen alternierenden Algorithmus mit solchen schnellen Summationsverfahren ermöglicht eine weitere erhebliche Beschleunigung beim Lösen dieser Gleichungssysteme. Zur Bestimmung von Glättungsparametern (Spline-Smoothing) und Regularisierungsparametern kann die L-Curve Method zum Einsatz kommen.