Kaiserslautern - Fachbereich Mathematik
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Faculty / Organisational entity
Diese Arbeit gehört in die algebraische Geometrie und die Darstellungstheorie und stellt eine Beziehung zwischen beiden Gebieten dar. Man beschäftigt sich mit den abgeleiteten Kategorien auf flachen Entartungen projektiver Geraden und elliptischer Kurven. Als Mittel benutzt man die Technik der Matrixprobleme. Das Hauptergebnis dieser Dissertation ist der folgende Satz: SATZ. Sei X ein Zykel projektiver Geraden. Dann gibt es drei Typen unzerlegbarer Objekte in D^-(Coh_X): - Shifts von Wolkenkratzergarben in einem regulären Punkt; - Bänder B(w,m,lambda), - Saiten S(w). Ganz analog beweist man die Zahmheit der abgeleiteten Kategorien vieler assoziativer Algebren.
Die vorliegende Arbeit wurde angeregt durch die in A.N. Borodin(2000) [Version of the Feynman-Kac Formula. Journal of Mathematical Sciences, 99(2):1044-1052, 2000] und in B. Simon(2000) [A Feynman-Kac Formula for Unbounded Semigroups. Canadian Math. Soc. Conf. Proc., 28:317-321, 2000] dargestellten Feynman-Kac-Formeln. Sie beschäftigt sich mit dem Problem, den Geltungsbereich der Feynman-Kac-Formel im Hinblick auf die Bedingungen der Potentiale und der Anfangsbedingung der zugehörigen partiellen Differentialgleichung zu erweitern. Es ist bekannt, dass die Feynman-Kac-Formel für beschränkte Potentiale gilt. Ausserdem gilt sie auch für Anfangsbedingungen, die im Raum \(C_{0}(\mathbb{R}^{n})\) oder im Raum \(C_{c}^{2}(\mathbb{R}^{n})\) liegen. Die Darstellung der Feynman-Kac-Formel für die Anfangsbedingung, die im Raum \(C_{c}^{2}(\mathbb{R}^{n})\) liegt, liefert die Lösung der partiellen Differentialgleichung. Wir können sie auch als stark stetige Halbgruppe auf dem Raum \(C_{0}(\mathbb{R}^{n})\) auffassen. Diese zwei verschiedenen Darstellungen sind äquivalent. In dieser Arbeit zeigen wir zunächst, dass die Feynman-Kac-Formel auch für unbeschränkte Potentiale \(V\) gilt, wobei \(|V(x)| \leq \varepsilon ||x||^{2} + C_{\varepsilon} \) für alle \(\varepsilon > 0; C_{\varepsilon} > 0\) und \(x \in \mathbb{R}^{n}\) ist. Ausserdem zeigen wir, dass sie für alle Anfangsbedingungen \(f\) gilt mit \(x \mapsto e^{-\varepsilon |x|^{2}} f(x) \in H^{2,2}(\mathbb{R}^{n})\). Der Beweis ist wahrscheinlichkeitstheoretisch und benutzt keine Spektraltheorie. Der spektraltheoretische Zugang, in dem eine Darstellung des Operators \(e^{-tH}\), wobei \(H = -\frac{1}{2} \Delta + V\) gegeben wird, wurde von B. Simon(2000) auch auf die obige Klasse von Potentialen ausgeweitet. Wir lassen zusätzlich auch Potentiale der Form \(V = V_{1} + V_{2}\) zu, wobei \(V_{1} \in L^{2}(\mathbb{R}^{3})\) ist und für alle \(\varepsilon > 0\) gibt es \(C_{\varepsilon} > 0\), so dass \(|V_{2}(x)| \leq\varepsilon ||x||^{2} + C_{\varepsilon}\) für alle \(x \in \mathbb{R}^{3}\) ist. Im Gegensatz zur klassischen Situation ist \(e^{-tH}\) jetzt ein unbeschränkter Operator. Schließlich wird in dieser Arbeit auch der Zusammenhang zwischen der Feynman-Kac-It\(\hat{o}\)-Formel, der Feynman-Kac-Formel und der Kolmogorov-Rückwärtsgleichung untersucht.
Die Arbeit beschäftigt sich mit den Charakteren des Normalisators und des Zentralisators eines Sylowtorus. Dabei wird jede Gruppe G vom Lie-Typ als Fixpunktgruppe einer einfach-zusammenhängenden einfachen Gruppe unter einer Frobeniusabbildung aufgefaßt. Für jeden Sylowtorus S der algebraischen Gruppe wird gezeigt, dass die irreduziblen Charaktere des Zentralisators von S in G sich auf ihre Trägheitsgruppe im Normalisator von S fortsetzen. Diese Fragestellung entsteht aus dem Studium der Höhe 0 Charaktere bei endlichen reduktiven Gruppen vom Lie-Typ im Zusammenhang mit der McKay-Vermutung. Neuere Resultate von Isaacs, Malle und Navarro führen diese Vermutung auf eine Eigenschaft von einfachen Gruppen zurück, die sie dann für eine Primzahl gut nennen. Bei Gruppen vom Lie-Typ zeigt das obige Resultat zusammen mit einer aktuellen Arbeit von Malle einige dabei wichtige und notwendige Eigenschaften. Anhand der Steinberg-Präsentation werden vor allem bei den klassischen Gruppen genauere Aussagen über die Struktur des Zentralisators und des Normalisators eines Sylowtorus bewiesen. Wichtig dabei ist die von Tits eingeführte erweiterte Weylgruppe, die starke Verbindungen zu Zopfgruppen besitzt. Das Resultat wird in zahlreichen Einzelfallbetrachtungen gezeigt, bei denen in dieser Arbeit bewiesene Vererbungsregeln von Fortsetzbarkeitseigenschaften benutzt werden.
Zwei zentrale Probleme der modernen Finanzmathematik sind die Portfolio-Optimierung und die Optionsbewertung. Während es bei der Portfolio-Optimierung darum geht, das Vermögen optimal auf verschiedene Anlagemöglichkeiten zu verteilen, versucht die Optionsbewertung faire Preise von derivativen Finanzinstrumenten zu bestimmen. In dieser Arbeit werden Fragestellungen aus beiden dieser Themenbereiche bearbeitet. Die Arbeit beginnt mit einem Kapitel über Grundlagen, in dem zum Beispiel das Portfolio-Problem von Merton dargestellt und die Black/Scholes-Formel zur Optionsbewertung hergeleitet wird. In Kapitel 2 wird das Portfolio-Problem von Morton und Pliska betrachtet, die in das Merton-Modell fixe Transaktionskosten eingeführt haben. Dabei muß der Investor bei jeder Transaktion einen fixen Anteil vom derzeitigen Vermögen als Kosten abführen. Es wird die asymptotische Approximation dieses Modells von Atkinson und Wilmott vorgestellt und die optimale Portfoliostrategie aus den Marktparametern hergeleitet. Danach werden die tatsächlichen Transaktionskosten abgeschätzt und ein User Guide zur praktischen Anwendung dieses Transaktionskostenmodells angegeben. Zum Schluß wird das Modell numerisch analysiert, indem unter anderem die erwartete Handelszeit und die Güte der Abschätzung der tatsächlichen Transaktionskosten berechnet werden. Ein Portfolio-Problem mit internationalen Märkten wird in Kapitel 3 vorgestellt. Dem Investor steht zusätzlich zu seinem Heimatland noch ein weiteres Land für seine Vermögensanlagen zur Verfügung. Dabei werden die Preisprozesse für die ausländischen Wertpapiere mit einem stochastischen Wechselkurs in die Heimatwährung umgerechnet. In einer statischen Analyse wird unter anderem berechnet, wieviel weniger Vermögen der Investor benötigt, um das gleiche erwartete Endvermögen zu erhalten wie in dem Fall, wenn ihm keine Auslandsanlagen zur Verfügung stehen. Kapitel 4 behandelt drei verschiedene Portfolio-Probleme mit Sprung-Diffusions-Prozessen. Nach der Herleitung eines Verifikationssatzes wird das Problem bei Anlagemöglichkeit in eine Aktie und in ein Geldmarktkonto jeweils für eine konstante und eine stochastische Zinsrate untersucht. Im ersten Fall wird eine implizite Darstellung für den optimalen Portfolioprozeß und eine Bedingung angegeben, unter der diese Darstellung eindeutig lösbar ist. Außerdem wird der optimale Portfolioprozeß für verschiedene Verteilungen für die Sprunghöhe untersucht. Im Falle einer stochastischen Zinsrate kann nur ein Kandidat für den optimalen Lösungsprozeß angeben werden. Dieser hat wieder eine implizite Darstellung. Das letzte Portfolio-Problem ist eine Abwandlung des Modells aus Kapitel 3. Wird dort der Wechselkurs durch eine geometrisch Brownsche Bewegung modelliert, ist er hier ein reiner Sprungprozeß. Es wird wieder der optimale Portfolioprozeß hergeleitet, wobei ein Anteil davon unter Umständen nur numerisch lösbar ist. Eine hinreichende Bedingung für die Lösbarkeit wird angegeben. In Kapitel 5 werden verschiedene Bewertungsansätze für Optionen auf Bondindizes präsentiert. Es wird eine Methode vorgestellt, mit der die Optionen anhand von Marktpreisen bewertet werden können. Für den Fall, daß es nicht genug Marktpreise gibt, wird ein Verfahren angegeben, um den Bondindex realitätsnah zu simulieren und künstliche Marktpreise zu erzeugen. Diese Preise können dann für eine Kalibrierung verwendet werden.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit Methoden zur Klassifikation von Ovoiden in quadratischen Räumen. Die Anwendung der dazu entwickelten Algorithmen erfolgt hauptsächlich in achtdimensionalen Räumen speziell über den Körpern GF(7), GF(8) und GF(9). Zu verschiedenen, zumeist kleinen, zyklischen Gruppen werden hier die unter diesen Gruppen invarianten Ovoide bestimmt. Die bei dieser Suche auftretenden Ovoide sind alle bereits bekannt. Es ergeben sich jedoch Restriktionen an die Stabilisatoren gegebenenfalls existierender, unbekannter Ovoide.
In der Automobilindustrie muss der Nachweis von Bauteilzuverlässigkeiten auf statistischen Verfahren basieren, da die Bauteilfestigkeit und Kundenbeanspruchung streuen. Die bisherigen Vorgehensweisen der Tests führen häufig Fehlentscheidungen bzgl. der Freigabe, was unnötige Design-Änderungen und somit hohe Kosten bedeuten kann. In vorliegender Arbeit wird der Ansatz der partiellen Durchläuferzählung entwickelt, welche die statische Güte der bisherigen Testverfahren (Success Runs) erhöht.
Das zentrale Thema dieser Arbeit sind vollständig gekoppelte reflektierte Vorwärts-Rückwärts-Stochastische-Differentialgleichungen (FBSDE). Zunächst wird ein Spezialfall, die teilweise gekoppelten FBSDE, betrachtet und deren Verbindung zur Bewertung Amerikanischer Optionen aufgezeigt. Für die Lösung dieser Gleichung wird Monte-Carlo-Simulation benötigt, daher werden verschiedene Varianzreduktionsmaßnahmen erarbeitet und miteinander verglichen. Im Folgenden wird der allgemeinere Fall der vollständig gekoppelten reflektierten FBSDE behandelt. Es wird gezeigt, wie das Problem der Lösung dieser Gleichungen in ein Optimierungsproblem übertragen werden kann und infolgedessen mit numerischen Methoden aus diesem Bereich der Mathematik bearbeitet werden kann. Abschließend folgen Vergleiche der verschiedenen numerischen Ansätze mit bereits existierenden Verfahren.
Diese Doktorarbeit befasst sich mit Volatilitätsarbitrage bei europäischen Kaufoptionen und mit der Modellierung von Collateralized Debt Obligations (CDOs). Zuerst wird anhand einer Idee von Carr gezeigt, dass es stochastische Arbitrage in einem Black-Scholes-ähnlichen Modell geben kann. Danach optimieren wir den Arbitrage- Gewinn mithilfe des Erwartungswert-Varianz-Ansatzes von Markowitz und der Martingaltheorie. Stochastische Arbitrage im stochastischen Volatilitätsmodell von Heston wird auch untersucht. Ferner stellen wir ein Markoff-Modell für CDOs vor. Wir zeigen dann, dass man relativ schnell an die Grenzen dieses Modells stößt: Nach dem Ausfall einer Firma steigen die Ausfallintensitäten der überlebenden Firmen an, und kehren nie wieder zu ihrem Ausgangsniveau zurück. Dieses Verhalten stimmt aber nicht mit Beobachtungen am Markt überein: Nach Turbulenzen auf dem Markt stabilisiert sich der Markt wieder und daher würde man erwarten, dass die Ausfallintensitäten der überlebenden Firmen ebenfalls wieder abflachen. Wir ersetzen daher das Markoff-Modell durch ein Semi-Markoff-Modell, das den Markt viel besser nachbildet.
Die vorliegende Dissertation besteht aus zwei Hauptteilen: Neue Ergebnisse aus der Gaußchen Analysis und ihre Anwendung auf die Theorie der Pfadintegrale. Das zentrale Resultat des ersten Teils ist die Charakterisierung aller regulären Distributionen die man mit Donsker's Delta multiplizieren kann. Dabei wird eine explizite Formel für solche Produkte, die sogenannte Wick-Formel, angegeben. Im Anwendungsteil dieser Arbeit wird zunächst eine komplex skalierte Feynman-Kac-Formel und ihre zugehörigen Kerne mit Hilfe dieser Wick-Formel gezeigt. Desweiteren werden Feynman Integranden für neue Klassen von Potentialen als White Noise Distributionen konstruiert.