Kaiserslautern - Fachbereich Informatik
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In dieser Dissertation wird das Konzept der Gröbnerbasen für endlich erzeugte Monoid-und Gruppenringe verallgemeinert. Dabei werden Reduktionsmethoden sowohl zurDarstellung der Monoid- beziehungsweise Gruppenelemente, als auch zur Beschreibungder Rechtsidealkongruenz in den entsprechenden Monoid- beziehungsweise Gruppenrin-gen benutzt. Da im allgemeinen Monoide und insbesondere Gruppen keine zulässigenOrdnungen mehr erlauben, treten bei der Definition einer geeigneten Reduktionsrela-tion wesentliche Probleme auf: Zum einen ist es schwierig, die Terminierung einer Re-duktionsrelation zu garantieren, zum anderen sind Reduktionsschritte nicht mehr mitMultiplikationen verträglich und daher beschreiben Reduktionen nicht mehr unbedingteine Rechtsidealkongruenz. In dieser Arbeit werden verschiedene Möglichkeiten Reduk-tionsrelationen zu definieren aufgezeigt und im Hinblick auf die beschriebenen Problemeuntersucht. Dabei wird das Konzept der Saturierung, d.h. eine Polynommenge so zu er-weitern, daß man die von ihr erzeugte Rechtsidealkongruenz durch Reduktion erfassenkann, benutzt, um Charakterisierungen von Gröbnerbasen bezüglich der verschiedenenReduktionen durch s-Polynome zu geben. Mithilfe dieser Konzepte ist es gelungenfür spezielle Klassen von Monoiden, wie z.B. endliche, kommutative oder freie, undverschiedene Klassen von Gruppen, wie z.B. endliche, freie, plain, kontext-freie odernilpotente, unter Ausnutzung struktureller Eigenschaften spezielle Reduktionsrelatio-nen zu definieren und terminierende Algorithmen zur Berechnung von Gröbnerbasenbezüglich dieser Reduktionsrelationen zu entwickeln.
Following Buchberger's approach to computing a Gröbner basis of a poly-nomial ideal in polynomial rings, a completion procedure for finitely generatedright ideals in Z[H] is given, where H is an ordered monoid presented by a finite,convergent semi - Thue system (Sigma; T ). Taking a finite set F ' Z[H] we get a(possibly infinite) basis of the right ideal generated by F , such that using thisbasis we have unique normal forms for all p 2 Z[H] (especially the normal formis 0 in case p is an element of the right ideal generated by F ). As the orderingand multiplication on H need not be compatible, reduction has to be definedcarefully in order to make it Noetherian. Further we no longer have p Delta x ! p 0for p 2 Z[H]; x 2 H. Similar to Buchberger's s - polynomials, confluence criteriaare developed and a completion procedure is given. In case T = ; or (Sigma; T ) is aconvergent, 2 - monadic presentation of a group providing inverses of length 1 forthe generators or (Sigma; T ) is a convergent presentation of a commutative monoid ,termination can be shown. So in this cases finitely generated right ideals admitfinite Gröbner bases. The connection to the subgroup problem is discussed.