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La Teoría de localización abarca las posibilidades, para que con la ayuda de modelos matemáticos se busquen localizaciones teniendo en cuenta que los intereses económicos y administrativos sean óptimos. Así por ejemplo se encuentra la mejor localización para el almacén central de una empresa, cuando la suma de los gastos de transporte y de almacenaje sean mínimos y cuando se utilice el almacén óptimo. Si por otro lado, la administración busca la localización de una nueva estación de bomberos o de un hospital, hay que tener en cuenta un importante criterio para la localización óptima y es que la distancia mayor no sobrepase un valor dado.
Gegenstand der vorliegenden Arbeit waren Untersuchungen zum Hochdruck-Mehrphasengleichgewicht ternärer Systeme bestehend aus einem nahekritischen Gas, Wasser und einem bei Umgebungsbedingungen vollständig wasserlöslichen organischen Lösungsmittel. Das Aufpressen eines Gases nahe seiner kritischen Temperatur (nahekritisches Gas) auf eine einphasige wässrige Lösung kann – wie die Zugabe eines Salzes – zur Entmischung der Flüssigkeit in eine wasserreiche (hydrophile) sowie eine an organischem Lösungsmittel reiche (lipophile bzw. hydrophobe) Phase führen. Elgin und Weinstock (1959) nannten dieses Phänomen bezeichnenderweise „salting out with a supercritical gas“. In der vorliegenden Arbeit wurde dieser Vorschlag aufgegriffen und umgesetzt. Der Schwerpunkt lag auf der Untersuchung des Einflusses ionischer Komponenten, z. B. von Puffersystemen bzw. anorganischer Salze, sowohl auf das Phasengleichgewicht des ternären phasenbildenden Systems als auch auf die Verteilung überwiegend dissoziierbarer Naturstoffe auf die koexistierenden Hochdruck-Flüssigphasen. Die Experimente wurden mit einer in früheren Arbeiten (Wendland 1994, Adrian 1997, Freitag 2003) entwickelten Phasengleichgewichtsapparatur durchgeführt. Die beiden untersuchten ternären phasenbildenden Systeme waren das System Ethen + Wasser + Aceton und das System Ethan + Wasser + Aceton. Für beide Systeme wurde die Zusammensetzung der koexistierenden flüssigen Phasen L1 und L2 des Dreiphasengleichgewichts L1L2V über den gesamten Existenzbereich bei Temperaturen von 293, 313 und 333 K bestimmt. Ausserdem wurde der Verlauf beider kritischer Endpunktlinien für die beiden genannten und zusätzlich für die bereits von Freitag (2003) untersuchten Systeme Ethen + Wasser + 1- bzw. 2-Propanol über einen Temperaturbereich zwischen 278 und 353 K vermessen. Den Schwerpunkt der Untersuchungen bildeten Messungen zur Verteilung von Naturstoffen auf die koexistierenden flüssigen Phasen L1 und L2 des Dreiphasengleichgewicht L1L2V im pH-neutralen ternären System Ethen + Wasser + 2-Propanol. Zunächst wurde die Auswirkung der Zugabe von ionischen Komponenten auf die Lage der kritischen Endpunktlinien untersucht. Der erwartete, zusätzliche Aussalzeffekt bestätigte sich. Kernstück waren Verteilungsmessungen der sechs ausgewählten Wirkstoffe L-Histidin, Cimetidin, Aspirin®, 4-Dimethylaminoantipyrin, Sulfameter und Ciprofloxacin bei 293 und 333 K und bei mindestens zwei pH-Werten (insgesamt ca. 300 Messpunkte). Diese Erkenntnisse liefern neue Aspekte hinsichtlich der Entwicklung neuer, dieses spezielle Phasengleichgewichtsverhalten ausnutzende Hochdruckextraktionsverfahren zur Abtrennung organischer Wertstoffe aus wässrigen Lösungen. Gegenstand der theoretischen Untersuchungen war die Modellierung der Phasengleichgewichte der untersuchten ternären, phasenbildenden Systeme Ethen bzw. Ethan + Wasser + Aceton mit dem vorhandenen Programmpaket. Es verwendet die kubische Zustandgleichung von Peng und Robinson in der Modifikation von Melhem et al. (1989). In Anlehnung an die Untersuchungen von Freitag (2003) kamen die beiden Mischungsregeln von Panagiotopoulos und Reid (1986) sowie von Huron und Vidal (1979) zur Anwendung. Zunächst wurden die für den Programmablauf notwendigen binären Wechselwirkungsparameter an Messwerte für das Dampf-Flüssigkeits-Gleichgewicht der binären Randsysteme (aus der Literatur) angepasst. Da das Programm hierbei auf keine eigenen Messdaten, sondern lediglich auf Daten aus der Literatur zurückgreift, kann von einer Vorhersage gesprochen werden. Die Vorhersage der Phasengleichgewichte stimmt aber nur qualitativ mit den Messwerten überein, wobei das Phasenverhalten aber grundsätzlich richtig vorhergesagt wird. Eine zufriedenstellende quantitative Beschreibung der ternären Dreiphasengleichgewichte ist (wie schon von Adrian (1997) und Freitag (2003) gezeigt) nur mit Hilfe einer Korrelation möglich, bei der die binären Wechselwirkungsparameter durch Anpassung an die experimentell ermittelten ternären Phasengleichgewichtsdaten bestimmt werden. Ein Vorschlag für weiterführende Untersuchungen ist die Implementierung chemischer Reaktionen, wie sie bei dissoziierenden Spezies vorkommen, in das Programmpaket. Hiervon kann eine brauchbare Modellierung sowohl der Phasen- als auch der Verteilungsgleichgewichte gepufferter Systeme erwartet werden. Des weiteren bleibt die Notwendigkeit bestehen, für die entsprechenden binären Randsysteme möglichst zahlreiche und vor allem genaue Daten für einen grossen Temperatur- und Druckbereich zur Verfügung zu haben, um die Modellierung zu verbessern.
Aufgrund der vernetzten Strukturen und Wirkungszusammenhänge dynamischer Systeme werden die zugrundeliegenden mathematischen Modelle meist sehr komplex und erfordern ein hohes mathematisches Verständnis und Geschick. Bei Verwendung von spezieller Software können jedoch auch ohne tiefgehende mathematische oder informatorische Fachkenntnisse komplexe Wirkungsnetze dynamischer Systeme interaktiv erstellt werden. Als Beispiel wollen wir schrittweise das Modell einer Miniwelt entwerfen und Aussagen bezüglich ihrer Bevölkerungsentwicklung treffen.
Der weltweite Transformationsprozess der Agenda 2030 (United Nations 2015) muss, soll er gelingen, von der Gesellschaft mitgetragen und vollzogen werden. In der im Nachhaltigkeitsziel 4.7 verankerten Bildung für nachhaltige Entwicklung (BNE) nimmt auch die Schule als Bildungsträger eine relevante Rolle ein. BNE impliziert ein erneutes Nachdenken über Bildung, ihre Funktionen und ihre institutionelle und strukturelle Einbettung in Bildungsinstituten. Auch die Mathematik leistet zur Lösung globaler Probleme entscheidende Beiträge. Mit dem Blick auf den Bedarf an Menschen mit Expertise in interdisziplinären Denk- und Arbeitsweisen bezieht sich die mathematische Bildung jedoch zu wenig auf konkrete Lernaufgaben aus den realen sozialen, ökologischen, wirtschaftlichen sowie politischen Kontexten. Große Potenziale des Mathematikunterrichts bleiben so ungenutzt. Das soll sich ändern. Deshalb geht diese Forschungsarbeit „Zum Beitrag der mathematischen Modellierung zur Bildung für nachhaltige Entwicklung – ein Leitfaden zum Mathematikunterricht“ der Frage nach, wie BNE in den Mathematikunterricht integriert werden kann.
Auf Basis von Forschungsergebnissen der letzten Jahrzehnte konnte gezeigt werden, dass sich mathematische Modellierungen auch zur Darstellung von realen (nachhaltigen) Entwicklungsprozessen eignen. Der Bildungsanspruch der Mathematik im Kontext der BNE wird in der Fallstudienanalyse an prägnanten Modellierungsaufgaben beschrieben. Die Potenziale von Modellierungsaufgaben ermöglichen es, den Lernenden „notwendige Kenntnisse und Qualifikationen zur Förderung nachhaltiger Entwicklung“ (SDG 4.7) zu vermitteln.
Im Zentrum steht die Lernaufgabe als bedeutender Dreh- und Angelpunkt eines Mathematikunterrichts. Sie soll komplexe reale Zusammenhänge in den Mathematikunterricht integrieren und gleichzeitig fachliche und überfachliche Kompetenzen der Mathematik vermitteln. Diese scheinbare Kluft wird mit einer kompetenzfördernden und kognitiv-aktivierenden „BNE-Aufgabenkultur“ überwunden.
Eine „BNE-Modellierungsaufgabe“ schafft Grundlagen zur Erkenntnisgewinnung (Analyse) oder, mittels Datensammlung, zur eigenen Modellbildung (Synthese) realer Prozesse. Der integrative Lernansatz fördert ein Verständnis der Realität in all ihren Facetten und gibt der faktischen sowie ethischen Komplexität Raum. Daten und Fakten konfrontieren Lernende mit Entscheidungsdilemmata, regen zum Überdenken der eigenen Werte und zum Planen von Handlungen an. Eine konstruktive Auseinandersetzung mit gesellschaftlichen Entwicklungen liefert eine Grundlage für die Bewältigung von Anforderungen aus der unmittelbaren Lebenswelt und kann Orientierung im Alltag geben. Die Mathematik beschränkt sich hierbei auf das Beschreiben kausaler Zusammenhänge und versucht, die komplizierte Welt in eine kohärente Ordnung zu bringen. Die Wahl der Parameter und Randbedingungen einer Modellierung ermöglichen unterschiedliche Perspektiven. Dies kann auch zu voneinander abweichenden Interpretationen der Sachverhalte genutzt werden. Beispiele hierfür sind Klimamodelle oder Modellierungen im Rahmen der Covid-Krise, auf deren Ergebnissen unterschiedliche gesamtgesellschaftliche und politische Entscheidungen basierten. Dementsprechend kann ein metakognitiver Blick auf Modellierungsprozesse eine kritische und reflektierte Haltung schulen und zur Mündigkeit der Lernenden beitragen.
Die Auseinandersetzung mit den Grenzen deduktiver mathematischer Verfahren als Basis einer Visions- bzw. Prognosenbildung und eine darauf aufbauende Zukunftsgestaltung rücken in den Fokus. Ein besseres Verständnis der Mathematik und der Realität kann die Folge sein. Ziel eines BNE-orientierten Mathematikunterrichts muss es also sein, die Lernenden aufzufordern, die Welt durch die mathematische Brille zu betrachten, um gesellschaftliche Verhältnisse und Systeme kritisch zu „lesen“ und im Sinne der Nachhaltigkeit neu „schreiben“ zu können.
Dieser Lehr-Lernansatz erhält durch die qualitative Fallstudienanalyse eine wissenschaftliche Festigung. Aus den theoretischen Überlegungen zu einer integrativen Neuorientierung einer Modellierungsaufgabe im Mathematikunterricht sind neu ausgerichtete Wirkungsketten wünschens-werter Lehr-Lern-Prozesse entstanden. Sie gelten in diesem integrativen Bildungsanliegen als strukturbildend und zeigen einen Leitfaden zur Konzeption von „BNE-Modellierungsaufgaben“. Eine ergänzende Handreichung illustriert praxisnah die Entwicklung sowie Umsetzung von BNE-Lernaufgaben im Fachunterricht und regt zur Nachahmung an. Die vorgestellten BNE-Modellierungsaufgaben fügen sich in die Vorgaben der nationalen Bildungsstandards ein und wurden bereits im regulären Mathematikunterricht erprobt.
Die Einbeziehung anderer Fachbereiche spielt für den hier beschriebenen BNE-Ansatz zur Vermittlung der SDGs und der nachhaltigen Entwicklung eine zentrale Rolle. Möglichkeiten eines individuellen Engagements werden aufgezeigt. Dies kann richtungsweisend für die Nutzung der großen Potenziale der Mathematik für den notwendigen Transformationsprozess sein.