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In this work, we discuss the resonance states of a quantum particle in a periodic potential plus static force. Originally this problem was formulated for a crystalline electron subject to the static electric field and is known nowadays as the Wannier-Stark problem. We describe a novel approach to the Wannier-Stark problem developed in recent years. This approach allows to compute the complex energy spectrum of a Wannier-Stark system as the poles of a rigorously constructed scattering matrix and, in this sense, solves the Wannier-Stark problem without any approximation. The suggested method is very efficient from the numerical point of view and has proven to be a powerful analytic tool for Wannier-Stark resonances appearing in different physical systems like optical or semiconductor superlattices.
In dieser Arbeit wurde die Streutheorie in Stark-Systemen auf das im Rahmen der Untersuchung von Halbleiter-Übergittern vorgeschlagene periodische Rechteck-Potential angewendet. Das Verhalten der Resonanzenergien als Funktion verschiedener Parameter wurde untersucht. Hierbei trat das Phänomen der Paarung von Linienbreiten auf, welches durch Betrachtung der Bandstruktur des korrespondierenden feldfreien Hamiltonoperators und durch Modellierung mittels eines Matrixmodells für Wannier-Stark-Leitern geklärt werden konnte. Im letzten Abschnitt wurden die Untersuchungen auf die Beschreibung von Absorptionsspektren von Halbeiter-Übergittern ausgedehnt. Es wurde mittels zeitabhängiger Störungsrechnung eine Formel zur Berechnung des Absorptionsspektrums hergeleitet. Wird das periodische Potential in Halbleiter-Übergittern durch ein geglättetes Rechteck-Potential beschrieben, so können die spektroskopisch bestimmten Linienbreiten durch unsere Theorie gut beschrieben werden. Dies führt zu dem Schluss, dass das periodische Potential der Realität nicht wie anfänglich vermutet durch ein Rechteck-Potential beschrieben werden sollte sondern durch eine geglättete Version desselben. Trotz dieser interessanten Ergebnisse bleiben noch einige Fragen ungeklärt. So ist z.B. ungeklärt, ob es möglich ist die Parameter des Matrixmodells aus semiklassischen oder quantenmechanischen Berechnungen zu bestimmen, so dass das Modell es erlaubt die Resonanzenergien ab initio zu berechnen Im Rahmen dieser Arbeit wurde das Phänomen der Paarung der Lebensdauern untersucht. Hier wäre es interessant nach den Symmetrien der dazugehörigen Wellenfunktionen zu fragen. Es ist zu hoffen, dass dies Gegenstand zukünftiger Untersuchungen sein wird.