Markus Perling

• In this thesis the combinatorial framework of toric geometry is extended to equivariant sheaves over toric varieties. The central questions are how to extract combinatorial information from the so developed description and whether equivariant sheaves can, like toric varieties, be considered as purely combinatorial objects. The thesis consists of three main parts. In the first part, by systematically extending the framework of toric geometry, a formalism is developed for describing equivariant sheaves by certain configurations of vector spaces. In the second part, homological properties of a certain class of equivariant sheaves are investigated, namely that of reflexive equivariant sheaves. Several kinds of resolutions for these sheaves are constructed which depend only on the configuration of their associated vector spaces. Thus a partially positive answer to the question of combinatorial representability is given. As a particular result, a new way for computing minimal resolutions for Z^n - graded modules over polynomial rings is obtained. In the third part a complete classification of the simplest nontrivial sheaves, equivariant vector bundles of rank two over smooth toric surfaces, is given. A combinatorial characterization is given and parameter spaces (moduli spaces) are constructed which depend only on this characterization. In appendices a outlook on equivariant sheaves and the relation of Chern classes to their combinatorial classification is given, particularly focussing on the case of the projective plane. A classification of equivariant vector bundles of rank three over the projective plane is given.
• In dieser Dissertation wird die torische Geometrie erweitert und ein Formalismus zur Beschreibung äquivarianter Garben über torischen Varietäten entwickelt. Die zentralen Fragen, die, darauf aufbauend, behandelt werden, sind: können von diesem Formalismus kombinatorische Information zur Charakterisierung äquivarianter Garben abgeleitet werden? Und können äquivariante Garben, wie auch die torischen Varietäten selber, als rein kombinatorische Objekte betrachtet werden? Die Dissertation besteht aus drei Teilen. Im ersten Teil wird, durch systematische Erweiterung der torischen Geometrie, ein Formalismus entwickelt, der es erlaubt, äquivariante Garben als bestimmte Konfigurationen von Vektorräumen darzustellen. Im zweiten Teil werden homologische Eigenschaften einer bestimmten Klasse von äquivarianten Garben, nämlich reflexiven äquivarianten Garben, untersucht. Es werden mehrere Typen von Auflösungen für diese Garben konstruiert, die ausschließlich von der Konfiguration ihrer assoziierten Vektorräume abhängen. Auf diese Art wird die Frage nach der kombinatorischen Darstellbarkeit teilweise positiv beantwortet. Als Spezialfall wird eine neue Methode zur Berechnung minimaler Auflösungen von Z^n-graduierten Moduln über Polynomringen entwickelt. Im dritten Teil wird eine vollständige Klassifikation der einfachsten nichttrivialen äquivarianten Garben, nämlich Vektorbündel vom Rang zwei auf torischen Flächen, angegeben. Diese Klassifikation besteht aus einer kombinatorischen Charakterisierung dieser Bündel und der Konstruktion von Parameterräumen (Modulräumen), die nur von dieser Charakterisierung abhängen. In Anhängen wird ein Ausblick gegeben über den Zusammenhang zwischen äquivarianten Garben, ihrer kombinatorischen Klassifikation und äquivarianten Chernklassen, wobei insbesondere auf die projektive Ebene eingegangen wird. Eine Klassifikation von äquivarianten Vektorbündeln vom Rang drei auf der projektiven Ebene wird angegeben.