Swantje Bargmann

• Thermoelasticity represents the fusion of the fields of heat conduction and elasticity in solids and is usually characterized by a twofold coupling. Thermally induced stresses can be determined as well as temperature changes caused by deformations. Studying the mutual influence is subject of thermoelasticity. Usually, heat conduction in solids is based on Fourier’s law which describes a diffusive process. It predicts unnatural infinite transmission speed for parts of local heat pulses. At room temperature, for example, these parts are strongly damped. Thus, in these cases most engineering applications are described satisfactorily by the classical theory. However, in some situations the predictions according to Fourier’s law fail miserable. One of these situations occurs at temperatures near absolute zero, where the phenomenon of second sound1 was discovered in the 20th century. Consequently, non-classical theories experienced great research interest during the recent decades. Throughout this thesis, the expression “non-classical” refers to the fact that the constitutive equation of the heat flux is not based on Fourier’s law. Fourier’s classical theory hypothesizes that the heat flux is proportional to the temperature gradient. A new thermoelastic theory, on the one hand, needs to be consistent with classical thermoelastodynamics and, on the other hand, needs to describe second sound accurately. Hence, during the second half of the last century the traditional parabolic heat equation was replaced by a hyperbolic one. Its coupling with elasticity leads to non-classical thermomechanics which allows the modeling of second sound, provides a passage to the classical theory and additionally overcomes the paradox of infinite wave speed. Although much effort is put into non-classical theories, the thermoelastodynamic community has not yet agreed on one approach and a systematic research is going on worldwide.Computational methods play an important role for solving thermoelastic problems in engineering sciences. Usually this is due to the complex structure of the equations at hand. This thesis aims at establishing a basic theory and numerical treatment of non-classical thermoelasticity (rather than dealing with special cases). The finite element method is already widely accepted in the field of structural solid mechanics and enjoys a growing significance in thermal analyses. This approach resorts to a finite element method in space as well as in time.
• Diese Arbeit stellt einen Beitrag zur Theorie und Numerik nicht klassischer Thermoelastizität dar. Thermoelastizität beschäftigt sich allgemein mit der Verbindung mechanischer und thermischer Feldprobleme. Oft wird Wärmeleitung in Festkörpern durch das Fouriersche Gesetz beschrieben. Es nimmt an, dass der Wärmefluss proportional zum Temperaturgradienten ist. Dieser Ansatz wird in dieser Arbeit sowohl als Fouriersche als auch als klassische Theorie bezeichnet. In dieser Arbeit bezieht sich der Begriff “nicht klassisch” auf die Tatsache, dass die Konstitutivgleichung für den Wärmefluss vom Fourierschen Gesetz abweicht. Die aus dem Fourierschen Gesetz folgende parabolische Wärmeleitungsgleichung beschreibt Wärmeleitung durch Diffusion. Zusätzlich zu der unphysikalischen möglichen unendlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit versagt das Fouriersche Gesetz jedoch noch bei einigen anderen Phänomenen. Eines dieser Phänomene existiert bei tiefen Temperaturen nahe dem absoluten Nullpunkt. Hier wurde in der Mitte des 20. Jahrhunderts das sogenannte Phänomen des Zweiten Schalls (engl. second sound phenomenon) entdeckt. Der Zweite Schall tritt im allgemeinen in sehr reinen Kristallen bei tiefen Temperaturen auf. Anstelle einer diffusiven Wärmeausbreitung breitet sich in den oben genannten Materialien Wärme in Wellenform mit der charakteristischen Ausbreitungsgeschwindigkeit des Zweiten Schalls aus. Es entstehen zwei thermische Wellen: eine schnellere mit einer kleineren Amplitude sowie eine zweite langsamere mit einer größeren Amplitude. Erstere wird durch die Kopplung mit dem mechanischen Problem induziert und breitet sich mit der Geschwindigkeit von Schall aus. Letztere, der sogenannte Zweite Schall, ist rein thermischen Ursprungs. Mit steigenden Temperaturen geht der Zweite Schall in einen diffusen Prozess über. Aufgrund der Entdeckung des Zweiten Schalls musste eine erweiterte thermoelastische Theorie entwickelt werden, die zum einen den klassischen Fall konsistent beinhaltet und zum anderen in der Lage ist, das neu entdeckte physikalische Ph¨anomen zu modellieren. Zur Beschreibung dieser Effekte wurden in den letzten Jahrzehnten viele nicht klassische thermoelastische Theorien entwickelt. In dieser Arbeit wird der vielversprechende Vorschlag von Green und Naghdi verfolgt. Dieser Ansatz ist phänomenologisch. Des Weiteren ist er in das Feld der rationalen Thermodynamik eingebettet.