Urs Becker

• This thesis deals with the time integration and nonlinear model reduction of nearly incompressible materials that have been discretized in space by mixed finite elements. We analyze the structure of the equations of motion and show that a differential-algebraic system of index 1 with a singular perturbation term needs to be solved. In the limit case the index may jump to index 3 and thus renders the time integration into a difficult problem. For the time integration we apply Rosenbrock methods and study their convergence behavior for a test problem, which highlights the importance of the well-known Scholz conditions for this problem class. Numerical tests demonstrate that such linear-implicit methods are an attractive alternative to established time integration methods in structural dynamics. In the second part we combine the simulation of nonlinear materials with a model reduction step. We use the method of proper orthogonal decomposition and apply it to the discretized system of second order. For a nonlinear model reduction to be efficient we approximate the nonlinearity by following the lookup approach. In a practical example we show that large CPU time savings can achieved. This work is in order to prepare the ground for including such finite element structures as components in complex vehicle dynamics applications.
• In dieser Arbeit wird die Zeitintegration und nichtlineare Modellreduktion von nahezu inkompressiblen Materialen, die mithilfe von gemischten finiten Elementen im Raum diskretisiert sind, behandelt. Wir analysieren die Struktur der Bewegungsgleichung und zeigen, dass diese ein differential algebraisches System von Index 1 mit einem singulär gestörtem Term bildet. Im Grenzfall kann der Index des Systems auf 3 springen und damit die Zeitintegration negativ beeinflussen. Zur Zeitintegration verwenden wir Rosenbrock Methoden und untersuchen deren Konvergenzverhalten an einem Testproblem, hier entdecken wir die Wichtigkeit der wohlbekannten Scholz Bedingungen für diese Problemklasse. Numerische Versuche demonstrieren, dass linear-implizite Verfahren eine attraktive Alternative zu den klassisch eingesetzten Methoden in der Strukturdynamik darstellen. Im zweiten Teil der Arbeit beschreiben wir, wie mithilfe von Modellreduktion die Simulation von nichtlinearen Materialen weiter beschleunigt werden kann. Wir benutzen das POD Verfahren und wenden es auf das diskretisierte System zweiter Ordnung an. Für eine effektive Reduktion verwenden wir einen Lookup Ansatz um den nichtlinearen Anteil des reduzierten Models zu approximieren. Wir zeigen anhand eines praktischen Beispiels aus dem Fahrwerk eines Automobils, dass eine große Einsparung der Rechenzeit möglich ist. Diese Arbeit legt eine Grundlage zur Einbindung der betrachteten finiten Element Strukturen als Komponente in komplexen Analysen der Fahrzeugdynamik.