Explicit and effective Mather-Yau correspondence in view of analytic gradings

  • The famous Mather-Yau theorem in singularity theory yields a bijection of isomorphy classes of germs of isolated hypersurface singularities and their respective Tjurina algebras. This result has been generalized by T. Gaffney and H. Hauser to singularities of isolated singularity type. Due to the fact that both results do not have a constructive proof, it is the objective of this thesis to extract explicit information about hypersurface singularities from their Tjurina algebras. First we generalize the result by Gaffney-Hauser to germs of hypersurface singularities, which are strongly Euler-homogeneous at the origin. Afterwards we investigate the Lie algebra structure of the module of logarithmic derivations of Tjurina algebra while considering the theory of graded analytic algebras by G. Scheja and H. Wiebe. We use the aforementioned theory to show that germs of hypersurface singularities with positively graded Tjurina algebras are strongly Euler-homogeneous at the origin. We deduce the classification of hypersurface singularities with Stanley-Reisner Tjurina ideals. The notion of freeness and holonomicity play an important role in the investigation of properties of the aforementioned singularities. Both notions have been introduced by K. Saito in 1980. We show that hypersurface singularities with Stanley--Reisner Tjurina ideals are holonomic and have a free singular locus. Furthermore, we present a Las Vegas algorithm, which decides whether a given zero-dimensional \(\mathbb{C}\)-algebra is the Tjurina algebra of a quasi-homogeneous isolated hypersurface singularity. The algorithm is implemented in the computer algebra system OSCAR.
  • Das klassische Mather-Yau Theorem setzt Isomorphieklassen von Keimen isolierter Hyperflächensingularitäten in Bijektion zu Isomorphieklassen ihrer entsprechenden Tjurina Algebren. Dieses Resultat wurde von T. Gaffney und H. Hauser auf Singularitäten von isoliertem Singularitätentyp verallgemeinert. Auf Grund der Tatsache, dass beide eben genannten Resultate keine konstruktiven Beweise besitzen, ist es Ziel dieser Arbeit explizite Informationen über Keime von Hyperflächensingularitäten aus den zugehörigen Tjurina Algebren zu extrahieren. Zunächst verallgemeinern wir das Resultat von Gaffney-Hauser auf Keime von im Ursprung stark Euler-homogenen Hyperflächensingularitäten. Im Anschluss untersuchen wir die Lie Algebra Struktur des logarithmischen Derivationenmoduls der Tjurina Algebra unter Einbeziehung der Theorie graduierter analytischer Algebren nach G. Scheja und H. Wiebe. Wir verwenden diese Theorie um zu zeigen, dass Hyperflächensingularitäten mit positiv graduierter Tjurina Algebra stark Euler-homogen im Ursprung sind. Hieraus leiten wir die Klassifikation von Hyperflächensingularitäten mit Stanley-Reisner Tjurina Ideal ab. Bei der Untersuchung von Eigenschaften der eben genannten Singularitäten spielen die Freiheit und die Holonomizität von Singularitäten eine Rolle. Beides sind Begriffe die 1980 von K. Saito eingeführt wurden. Wir beweisen, dass Hyperflächensingularitäten mit Stanley-Reisner Tjurina Ideal holonom sind und einen freien singulären Ort besitzen. Des Weiteren stellen wir einen Las-Vegas-Algorithmus vor, welcher in der Lage ist zu entscheiden, ob eine gegebene null-dimensionale \(\mathbb{C}\)-Algebra die Tjurina Algebra einer quasi-homogenen isolierten Hyperflächensingularität ist. Der Algorithmus ist im Computeralgebrasystem OSCAR implementiert.

Download full text files

Export metadata

Additional Services

Search Google Scholar
Metadaten
Author:Raul-Paul Epure
URN:urn:nbn:de:hbz:386-kluedo-61500
Advisor:Mathias Schulze
Document Type:Doctoral Thesis
Language of publication:English
Date of Publication (online):2020/11/27
Date of first Publication:2020/11/27
Publishing Institution:Technische Universität Kaiserslautern
Granting Institution:Technische Universität Kaiserslautern
Acceptance Date of the Thesis:2020/11/13
Date of the Publication (Server):2020/12/01
Page Number:II, 170, V
Faculties / Organisational entities:Kaiserslautern - Fachbereich Mathematik
DDC-Cassification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 510 Mathematik
MSC-Classification (mathematics):14-XX ALGEBRAIC GEOMETRY
Licence (German):Creative Commons 4.0 - Namensnennung, nicht kommerziell, keine Bearbeitung (CC BY-NC-ND 4.0)