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Algorithmic aspects of tropical intersection theory

  • In the first part of this thesis we study algorithmic aspects of tropical intersection theory. We analyse how divisors and intersection products on tropical cycles can actually be computed using polyhedral geometry. The main focus is the study of moduli spaces, where the underlying combinatorics of the varieties involved allow a much more efficient way of computing certain tropical cycles. The algorithms discussed here have been implemented in an extension for polymake, a software for polyhedral computations. In the second part we apply the algorithmic toolkit developed in the first part to the study of tropical double Hurwitz cycles. Hurwitz cycles are a higher-dimensional generalization of Hurwitz numbers, which count covers of \(\mathbb{P}^1\) by smooth curves of a given genus with a certain fixed ramification behaviour. Double Hurwitz numbers provide a strong connection between various mathematical disciplines, including algebraic geometry, representation theory and combinatorics. The tropical cycles have a rather complex combinatorial nature, so it is very difficult to study them purely "by hand". Being able to compute examples has been very helpful in coming up with theoretical results. Our main result states that all marked and unmarked Hurwitz cycles are connected in codimension one and that for a generic choice of simple ramification points the marked cycle is a multiple of an irreducible cycle. In addition we provide computational examples to show that this is the strongest possible statement.
  • Im ersten Teil dieser Arbeit betrachten wir algorithmische Aspekte tropischer Schnitttheorie. Wir analysieren, wie Divisoren und Schnittprodukte tropischer Zykel mithilfe polyedrischer Geometrie berechnet werden können. Der Fokus liegt hierbei auf der Betrachtung von Modulräumen, deren zugrunde liegende Kombinatorik eine deutlich effizientere Berechnung bestimmter tropischer Zykel erlaubt. Die Algorithmen, die hier vorgestellt werden, wurden in einer Erweiterung für polymake implementiert, einer Software für polyedrische Berechnungen. Im zweiten Teil wenden wir das algorithmische Rüstzeug, das wir im ersten Teil entwickelt haben an, um tropische doppelte Hurwitzzykel zu analysieren. Hurwitzzykel sind eine höherdimensionale Verallgemeinerung von Hurwitzzahlen, welche wiederum Überdeckungen von \(\mathbb{P}^1\) durch glatte Kurven eines bestimmten Geschlechts und mit vorgegebenem Verzweigungsverhalten zählen. Doppelte Hurwitzzahlen liefern eine starke Verbindung zwischen verschiedenen mathematischen Disziplinen, wie z.B. algebraischer Geometrie, Darstellungstheorie und Kombinatorik. Die tropischen Zykel sind kombinatorisch sehr komplex, was es schwierig macht, sie nur "von Hand" zu betrachten. Daher war es sehr hilfreich, Beispiele zu berechnen, um so theoretische Ergebnisse finden zu können. Unser Hauptresultat sagt nun aus, dass alle markierten und unmarkierten Hurwitzzykel in Kodimension eins zusammenhängen und dass für eine generische Wahl einfacher Verzweigungspunkte die markierten Zykel Vielfache von irreduziblen Zykeln sind. Zusätzlich geben wir einige (mit dem Computer berechnete) Beispiele an, die zeigen, dass dies die stärkstmögliche Aussage ist.

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Metadaten
Verfasserangaben:Simon Hampe
URN (Permalink):urn:nbn:de:hbz:386-kluedo-38237
Betreuer:Andreas Gathmann
Dokumentart:Dissertation
Sprache der Veröffentlichung:Englisch
Veröffentlichungsdatum (online):02.07.2014
Jahr der Veröffentlichung:2014
Veröffentlichende Institution:Technische Universität Kaiserslautern
Titel verleihende Institution:Technische Universität Kaiserslautern
Datum der Annahme der Abschlussarbeit:23.06.2014
Datum der Publikation (Server):03.07.2014
Seitenzahl:118
Fachbereiche / Organisatorische Einheiten:Fachbereich Mathematik
DDC-Sachgruppen:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 510 Mathematik
MSC-Klassifikation (Mathematik):14-XX ALGEBRAIC GEOMETRY
Lizenz (Deutsch):Standard gemäß KLUEDO-Leitlinien vom 10.09.2012