Ein symbolischer Ansatz für finite Differenzenverfahren partieller Differentialgleichungen

A symbolic approach to finite difference schemes of partial differential equations

  • Zusammenfassung. In dieser Arbeit werden Probleme der numerischen Lösung finiter Differenzenverfahren partieller Differentialgleichungen in einem algebraischen Ansatz behandelt. Es werden sowohl theoretische Ergebnisse präsentiert als auch die praktische Implementierung mithilfe der Systeme SINGULAR und QEPCAD vorgeführt. Dabei beziehen sich die algebraischen Methoden auf zwei unterschiedliche Aspekte bei finiten Differenzenverfahren: die Erzeugung von Schemata mithilfe von Gröbnerbasen und die darauf folgende Stabilitätsanalyse mittels Quantorenelimination durch algebraische zylindrische Dekomposition. Beim Aufbau der Arbeit werden in den ersten drei Kapiteln in einer Rückschau die nötigen Begriffe aus der Computeralgebra gelegt, die Grundzüge der numerischen Konvergenztheorie finiter Differenzenschemata erklärt sowie die Anwendung des CAD-Algorithmus zur Quantorenelimierung skizziert. Das Kapitel 4 entwickelt ausgehend vom zugrunde liegenden Kontext die Formulierung und die dafür nötigen Bedingungen an Differenzenschemata, die algebraisch nach Definition ein Ideal in einem Polynomring darstellen. Neben der praktischen Handhabbarkeit der Objekte liegt die Betonung auf größtmöglicher Allgemeinheit in den Definitionen der Begriffe. Es werden äquivalente Wege der Erzeugung sowie Eigenschaften der Eindeutigkeit unter sehr speziellen Bedingungen an die verwendeten Approximationen gezeigt. Die Anwendung des CAD-Algorithmus auf die Abschätzung des Symbols eines Schemas wird erläutert. Das fünfte Kapitel beschreibt die SINGULAR-Bibliothek findiff.lib, welche das Zusammenspiel von SINGULAR und QEPCAD garantiert und eine vollständige Automatisierung der Erzeugung und Stabilitätsanalyse eines finiten Differenzenverfahrens ermöglicht.
  • Summary. In this thesis problems concerning numerical solving finite difference schemes of partial differential equations are discussed algebraically. Theoretical results and practical implementation with the help of the computer systems SINGULAR and QEPCAD are presented. The algebraic methods relate to two aspects arising from finite difference schemes: generation by means of Gröbner bases computation and stability analysis by the aid of quantifier elimination by use of cylindrical algebraic decomposition. During the first three chapters the structure of this thesis provides the review of the necessary notions from computer algebra, the theory of convergence of finite difference schemes and the usage of CAD-based algorithms for quantifier elimination. Out of this context chapter 4 develops algebraic formulation of and necessary conditions for difference schemes while regarding them as ideals in a special polynomial ring. Beside the practical handling of these objects much emphasis is put on maximum possible generality in the corresponding definitions. Equivalent ways of generation of schemes are demonstrated and appropriate conditions for approximations are given. The application of CAD-based quantifier elimination to the symbol of a difference scheme is shown. Chapter 5 explains the SINGULAR library findiff.lib that guarantees the interplay of SINGULAR and QEPCAD and, moreover, enables the complete automation of both generation and stability analysis for a finite difference scheme.

Export metadata

  • Export Bibtex
  • Export RIS

Additional Services

Share in Twitter Search Google Scholar
Metadaten
Author:Christian Dingler
URN (permanent link):urn:nbn:de:hbz:386-kluedo-25614
Advisor:Gerhard Pfister
Document Type:Doctoral Thesis
Language of publication:German
Year of Completion:2010
Year of Publication:2010
Publishing Institute:Technische Universität Kaiserslautern
Granting Institute:Technische Universität Kaiserslautern
Acceptance Date of the Thesis:2010/10/20
Tag:Gröbner-basis; finite difference schemes; partial differential equation
GND-Keyword:Differenzenverfahren; Gröbner-Basis ; Partielle Differentialgleichung
Faculties / Organisational entities:Fachbereich Mathematik
DDC-Cassification:510 Mathematik

$Rev: 12793 $