Equivariant character bijections in groups of Lie type

Äquivariante Bijektionen von Charakteren in Gruppen vom Lie Typ

  • A classical conjecture in the representation theory of finite groups, the McKay conjecture, states that for any finite group and prime number p the number of complex irreducible characters of degree prime to p is equal to the number of complex irreducible characters of degree prime to p of the normalizer of a p-Sylow subgroup. Recently a reduction theorem was proved by Isaacs, Malle and Navarro: If all simple groups are “good”, then the McKay conjecture holds. In this work we are concerned with the problem of goodness for finite groups of Lie type in their defining characteristic. A simple group is called “good” if certain equivariant bijections between the involved character sets exist. We present a structural approach to the construction of such a bijection by utilizing the so-called “Steinberg-Map”. This yields very natural bijections and we prove most of the desired properties.
  • Eine klassische Vermutung der Darstellungstheorie endlicher Gruppen ist die sogenannte McKay Vermutung. Sie sagt aus, dass für jede endliche Gruppe und Primzahl p die Anzahl komplexer, irreduzibler Charaktere mit Grad prim zu p gleich der Zahl komplexer, irreduzibler Charaktere mit Grad prim zu p des Normalisators einer p-Sylowuntergruppe ist. Vor kurzer Zeit haben Isaacs, Malle und Navarro einen Reduktionssatz bewiesen, der aussagt, dass alle endlichen Gruppen die McKay Vermutung erfüllen, falls die einfachen Gruppen „gut“ sind. Das Ziel dieser Arbeit ist es nachzuweisen, dass die einfachen Gruppen vom Lie Typ in definierender Charakteristik gut sind. Eine einfache Gruppe heißt „gut“ wenn wenn bestimmte äquivariante Bijektionen zwischen den involvierten Charaktermengen existieren. Wir präsentieren einen strukturellen Ansatz zur Konstruktion solcher Bijektionen, indem wir die sogenannte „Steinberg-Abbildung“ nutzen. Dies führt auf sehr natürliche Bijektionen und wir beweisen, dass sie die meisten der geforderten Eigenschaften erfüllen.

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Metadaten
Author:Johannes Maslowski
URN (permanent link):urn:nbn:de:hbz:386-kluedo-25376
Advisor:Willi Freeden
Document Type:Doctoral Thesis
Language of publication:English
Year of Completion:2010
Year of Publication:2010
Publishing Institute:Technische Universität Kaiserslautern
Granting Institute:Technische Universität Kaiserslautern
Acceptance Date of the Thesis:2010/07/13
GND-Keyword:Darstellungstheorie ; Endliche Gruppe ; Gruppentheorie; Irreduzibler Charakter ; Lie-Typ-Gruppe
Faculties / Organisational entities:Fachbereich Mathematik
DDC-Cassification:510 Mathematik
MSC-Classification (mathematics):20C33 Representations of finite groups of Lie type

$Rev: 12793 $