Die McKay-Vermutung für quasi-einfache Gruppen vom Lie-Typ

The McKay-Conjecture for quasi-simple groups of Lie type

  • Die Arbeit beschäftigt sich mit den Charakteren des Normalisators und des Zentralisators eines Sylowtorus. Dabei wird jede Gruppe G vom Lie-Typ als Fixpunktgruppe einer einfach-zusammenhängenden einfachen Gruppe unter einer Frobeniusabbildung aufgefaßt. Für jeden Sylowtorus S der algebraischen Gruppe wird gezeigt, dass die irreduziblen Charaktere des Zentralisators von S in G sich auf ihre Trägheitsgruppe im Normalisator von S fortsetzen. Diese Fragestellung entsteht aus dem Studium der Höhe 0 Charaktere bei endlichen reduktiven Gruppen vom Lie-Typ im Zusammenhang mit der McKay-Vermutung. Neuere Resultate von Isaacs, Malle und Navarro führen diese Vermutung auf eine Eigenschaft von einfachen Gruppen zurück, die sie dann für eine Primzahl gut nennen. Bei Gruppen vom Lie-Typ zeigt das obige Resultat zusammen mit einer aktuellen Arbeit von Malle einige dabei wichtige und notwendige Eigenschaften. Anhand der Steinberg-Präsentation werden vor allem bei den klassischen Gruppen genauere Aussagen über die Struktur des Zentralisators und des Normalisators eines Sylowtorus bewiesen. Wichtig dabei ist die von Tits eingeführte erweiterte Weylgruppe, die starke Verbindungen zu Zopfgruppen besitzt. Das Resultat wird in zahlreichen Einzelfallbetrachtungen gezeigt, bei denen in dieser Arbeit bewiesene Vererbungsregeln von Fortsetzbarkeitseigenschaften benutzt werden.
  • In this thesis we consider the characters of the normalizer and the centralizer of Sylow tori. Hereby we take a finite group of Lie type as a fixpoint subgroup in a simply-connected simple group of a Frobenius map. For each Sylow torus S of the corresponding algebraic group we show, that every irreducible character of the centralizer of S in G extends to its inertia group in the normalizer of S. The motivation for the problem considered in this thesis arises from the study of height 0 characters of finite reductive groups in the context of the McKay-Conjecture. Due to recent results of Isaacs, Malle, and Navarro the McKay-Conjecture holds for a prime r and a group H if all non-abelian simple groups 'involved' in H are good for r. Together with the result above recent work of Malle shows that some important and necessary conditions are satisfied for the 'goodness' of simple groups of Lie type if the prime r differs from the defining characteristic. We prove explicit statements for the structure of the centralizers and normalizers of a Sylow torus, by making use of the Steinberg presentation. In addition we use the extended Weyl group, introduced by Tits, and its strong connections to braid groups. The result is proven case by case according to the underlying root system and by means of inheritance rules for extensibility of characters, also proven in this thesis.

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Metadaten
Author:Britta Späth
URN (permanent link):urn:nbn:de:hbz:386-kluedo-20738
Advisor:Gunter Malle
Document Type:Doctoral Thesis
Language of publication:German
Year of Completion:2006
Year of Publication:2006
Publishing Institute:Technische Universität Kaiserslautern
Granting Institute:Technische Universität Kaiserslautern
Acceptance Date of the Thesis:2007/01/26
Tag:McKay-Vermutung
McKay-Conjecture
GND-Keyword:Charakter <Gruppentheorie> ; Endliche Lie-Gruppe ; Zopfgruppe
Faculties / Organisational entities:Fachbereich Mathematik
DDC-Cassification:510 Mathematik
MSC-Classification (mathematics):20C15 Ordinary representations and characters
20C33 Representations of finite groups of Lie type

$Rev: 12793 $