The Spherical Bernstein Wavelet

  • In this work we introduce a new bandlimited spherical wavelet: The Bernstein wavelet. It possesses a couple of interesting properties. To be specific, we are able to construct bandlimited wavelets free of oscillations. The scaling function of this wavelet is investigated with regard to the spherical uncertainty principle, i.e., its localization in the space domain as well as in the momentum domain is calculated and compared to the well-known Shannon scaling function. Surprisingly, they possess the same localization in space although one is highly oscillating whereas the other one shows no oscillatory behavior. Moreover, the Bernstein scaling function turns out to be the first bandlimited scaling function known to the literature whose uncertainty product tends to the minimal value 1.
  • In dieser Arbeit führen wir ein neues, bandlimitiertes sphärisches Wavelet ein: das Bernstein Wavelet. Es weist eine Reihe interessanter Eigenschaften auf, insbesondere erlaubt es, bandlimitierte Wavelets ohne Oszillationen zu erzeugen. Die dazugehörende Skalierungsfunktion wird im Bezug auf das sphärische Unschärfeprinzip untersucht, d.h die Lokalisation im Orts- sowie im Frequenzbereich wird berechnet und mit dem entsprechenden Wert der bekannten Shannon Skalierungsfunktion verglichen. Überraschenderweise besitzen beide die gleiche Ortslokalisation, obwohl eine Skalierungsfunktion stark oszilliert, während die andere frei von Oszillationen ist. Weiter stellt sich heraus, dass die Bernstein Skalierungsfunktion die erste bandlimitierte Skalierungsfunktion ist, deren Unschärfeprodukt gegen den kleinst möglichen Wert 1 konvergiert.

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Metadaten
Author:Martin J. Fengler, Willi Freeden, Martin Gutting
URN (permanent link):urn:nbn:de:hbz:386-kluedo-13756
Serie (Series number):Schriften zur Funktionalanalysis und Geomathematik (20)
Document Type:Preprint
Language of publication:English
Year of Completion:2005
Year of Publication:2005
Publishing Institute:Technische Universität Kaiserslautern
Date of the Publication (Server):2005/05/20
GND-Keyword:Approximation ; Bernstejn-Polynom ; Sphäre; Unschärferelation ; Wavelet
Faculties / Organisational entities:Fachbereich Mathematik
DDC-Cassification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
MSC-Classification (mathematics):33-XX SPECIAL FUNCTIONS (33-XX DEALS WITH THE PROPERTIES OF FUNCTIONS AS FUNCTIONS) (For orthogonal functions, see 42Cxx; for aspects of combinatorics see 05Axx; for number-theoretic aspects see 11-XX; for representation theory see 22Exx) / 33Cxx Hypergeometric functions / 33C55 Spherical harmonics
42-XX FOURIER ANALYSIS / 42Cxx Nontrigonometric harmonic analysis / 42C10 Fourier series in special orthogonal functions (Legendre polynomials, Walsh functions, etc.)
42-XX FOURIER ANALYSIS / 42Cxx Nontrigonometric harmonic analysis / 42C15 General harmonic expansions, frames
42-XX FOURIER ANALYSIS / 42Cxx Nontrigonometric harmonic analysis / 42C40 Wavelets and other special systems
65-XX NUMERICAL ANALYSIS / 65Txx Numerical methods in Fourier analysis / 65T99 None of the above, but in this section
Licence (German):Standard gemäß KLUEDO-Leitlinien vor dem 27.05.2011

$Rev: 13581 $