Families of hypersurfaces with many prescribed singularities

Familien von Hyperflächen mit vielen vorgegebenen Singularitäten

  • In this dissertation we consider complex, projective hypersurfaces with many isolated singularities. The leading questions concern the maximal number of prescribed singularities of such hypersurfaces in a given linear system, and geometric properties of the equisingular stratum. In the first part a systematic introduction to the theory of equianalytic families of hypersurfaces is given. Furthermore, the patchworking method for constructing hypersurfaces with singularities of prescribed types is described. In the second part we present new existence results for hypersurfaces with many singularities. Using the patchworking method, we show asymptotically proper results for hypersurfaces in P^n with singularities of corank less than two. In the case of simple singularities, the results are even asymptotically optimal. These statements improve all previous general existence results for hypersurfaces with these singularities. Moreover, the results are also transferred to hypersurfaces defined over the real numbers. The last part of the dissertation deals with the Castelnuovo function for studying the cohomology of ideal sheaves of zero-dimensional schemes. Parts of the theory of this function for schemes in P^2 are generalized to the case of schemes on general surfaces in P^3. As an application we show an H^1-vanishing theorem for such schemes.
  • In dieser Dissertation werden komplexe, projektive Hyperflächen mit vielen isolierten Singularitäten untersucht. Die zentralen Fragen betreffen die maximale Anzahl von vorgegebenen Singularitäten, die eine solche Hyperfläche in einem fixierten Linearsystem haben kann, sowie geometrische Eigenschaften des Äquisingularitätsstratums. Im ersten Teil der Arbeit wird eine systematische Einführung in das Studium von äquianalytischen Familien von Hyperflächen gegeben sowie die Patchworking Methode zur Konstruktion von Hyperflächen mit vorgegebenen Singularitäten beschrieben. Im zweiten Teil werden Existenzresultate für Hyperflächen mit vielen Singularitäten präsentiert. Mit Hilfe der Patchworking Methode werden asymptotisch korrekte Existenzresultate für Hyperflächen im P^n mit Singularitäten vom Korang kleiner gleich zwei gezeigt. Im Falle von einfachen Singularitäten sind die Resultate sogar asymptotisch optimal. Darüberhinaus werden die Resultate auch auf reelle Hyperflächen übertragen. Im letzten Teil der Arbeit wird die Castelnuovo Funktion zur Untersuchung der Kohomologie von Idealgarben nulldimensionaler Schemata betrachtet. Dabei werden Teile der Theorie dieser Funktion für nulldimensionale Schemata im P^2 auf Schemata auf allgemeinen Flächen im P^3 verallgemeinert. Als Anwendung wird ein H^1-Verschwindungssatz für solche Schemata gezeigt.

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Metadaten
Author:Eric Westenberger
URN (permanent link):urn:nbn:de:hbz:386-kluedo-17672
Advisor:Gert-Martin Greuel
Document Type:Doctoral Thesis
Language of publication:English
Year of Completion:2004
Year of Publication:2004
Publishing Institute:Technische Universität Kaiserslautern
Granting Institute:Technische Universität Kaiserslautern
Acceptance Date of the Thesis:2004/06/18
Tag:Castelnuovo Funktion ; Konstruktion von Hyperflächen; Nulldimensionale Schemata ; Patchworking Methode
Castelnuovo function ; Construction of hypersurfaces; Patchworking method ; Zero-dimensional schemes
GND-Keyword:Algebraische Geometrie ; Hyperflächensingularität ; Modulraum ; Äquisingularität
Faculties / Organisational entities:Fachbereich Mathematik
DDC-Cassification:510 Mathematik
MSC-Classification (mathematics):14J17 Singularities [See also 14B05, 14E15]
14J70 Hypersurfaces

$Rev: 12793 $