Families of hypersurfaces with many prescribed singularities

Familien von Hyperflächen mit vielen vorgegebenen Singularitäten

  • In this dissertation we consider complex, projective hypersurfaces with many isolated singularities. The leading questions concern the maximal number of prescribed singularities of such hypersurfaces in a given linear system, and geometric properties of the equisingular stratum. In the first part a systematic introduction to the theory of equianalytic families of hypersurfaces is given. Furthermore, the patchworking method for constructing hypersurfaces with singularities of prescribed types is described. In the second part we present new existence results for hypersurfaces with many singularities. Using the patchworking method, we show asymptotically proper results for hypersurfaces in P^n with singularities of corank less than two. In the case of simple singularities, the results are even asymptotically optimal. These statements improve all previous general existence results for hypersurfaces with these singularities. Moreover, the results are also transferred to hypersurfaces defined over the real numbers. The last part of the dissertation deals with the Castelnuovo function for studying the cohomology of ideal sheaves of zero-dimensional schemes. Parts of the theory of this function for schemes in P^2 are generalized to the case of schemes on general surfaces in P^3. As an application we show an H^1-vanishing theorem for such schemes.
  • In dieser Dissertation werden komplexe, projektive Hyperflächen mit vielen isolierten Singularitäten untersucht. Die zentralen Fragen betreffen die maximale Anzahl von vorgegebenen Singularitäten, die eine solche Hyperfläche in einem fixierten Linearsystem haben kann, sowie geometrische Eigenschaften des Äquisingularitätsstratums. Im ersten Teil der Arbeit wird eine systematische Einführung in das Studium von äquianalytischen Familien von Hyperflächen gegeben sowie die Patchworking Methode zur Konstruktion von Hyperflächen mit vorgegebenen Singularitäten beschrieben. Im zweiten Teil werden Existenzresultate für Hyperflächen mit vielen Singularitäten präsentiert. Mit Hilfe der Patchworking Methode werden asymptotisch korrekte Existenzresultate für Hyperflächen im P^n mit Singularitäten vom Korang kleiner gleich zwei gezeigt. Im Falle von einfachen Singularitäten sind die Resultate sogar asymptotisch optimal. Darüberhinaus werden die Resultate auch auf reelle Hyperflächen übertragen. Im letzten Teil der Arbeit wird die Castelnuovo Funktion zur Untersuchung der Kohomologie von Idealgarben nulldimensionaler Schemata betrachtet. Dabei werden Teile der Theorie dieser Funktion für nulldimensionale Schemata im P^2 auf Schemata auf allgemeinen Flächen im P^3 verallgemeinert. Als Anwendung wird ein H^1-Verschwindungssatz für solche Schemata gezeigt.

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Metadaten
Verfasserangaben:Eric Westenberger
URN (Permalink):urn:nbn:de:hbz:386-kluedo-17672
Betreuer:Gert-Martin Greuel
Dokumentart:Dissertation
Sprache der Veröffentlichung:Englisch
Jahr der Fertigstellung:2004
Jahr der Veröffentlichung:2004
Veröffentlichende Institution:Technische Universität Kaiserslautern
Titel verleihende Institution:Technische Universität Kaiserslautern
Datum der Annahme der Abschlussarbeit:18.06.2004
Datum der Publikation (Server):04.10.2004
Freies Schlagwort / Tag:Castelnuovo Funktion ; Konstruktion von Hyperflächen; Nulldimensionale Schemata ; Patchworking Methode
Castelnuovo function ; Construction of hypersurfaces; Patchworking method ; Zero-dimensional schemes
GND-Schlagwort:Algebraische Geometrie ; Hyperflächensingularität ; Modulraum ; Äquisingularität
Fachbereiche / Organisatorische Einheiten:Fachbereich Mathematik
DDC-Sachgruppen:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
MSC-Klassifikation (Mathematik):14-XX ALGEBRAIC GEOMETRY / 14Jxx Surfaces and higher-dimensional varieties (For analytic theory, see 32Jxx) / 14J17 Singularities [See also 14B05, 14E15]
14-XX ALGEBRAIC GEOMETRY / 14Jxx Surfaces and higher-dimensional varieties (For analytic theory, see 32Jxx) / 14J70 Hypersurfaces
Lizenz (Deutsch):Standard gemäß KLUEDO-Leitlinien vor dem 27.05.2011

$Rev: 13581 $