## Mathematical Methods for the efficient Assessment of Market and Credit Risk

### Mathematische Methoden zur effizienten Bewertung von Markt- und Kreditrisiken

• The central theme in this thesis concerns the development of enhanced methods and algorithms for appraising market and credit risks and their application within the context of standard and more advanced market models. Generally, methods and algorithms for analysing market risk of complex portfolios involve detailed knowledge of option sensitivities, the so-called "Greeks". Based on an analysis of symmetries in financial market models, relations between option sensitivities are obtained, which can be used for the efficient valuation of the Greeks. Mainly, the relations are derived within the Black Scholes model, however, some relations are also valid for more general models, for instance the Heston model. Portfolios are usually influenced by lots of underlyings, so it is necessary to characterise the dependencies of these basic instruments. It is usual to describe such dependencies by correlation matrices. However, estimations of correlation matrices in practice are disturbed by statistical noise and usually have the problem of rank deficiency due to missing data. A fast algorithm is presented which performs a generalized Cholesky decomposition of a perturbed correlation matrix. In contrast to the standard Cholesky algorithm, an advantage of the generalized method is that it works for semi-positive, rank deficient matrices as well. Moreover, it gives an approximative decomposition when the input matrix is indefinite. A comparison with known algorithms with similar features is performed and it turns out, that the new algorithm can be recommended in situations where computation time is the critical issue. The determination of a profit and loss distribution by Fourier inversion of its characteristic function is a powerful tool, but it can break down when the characteristic function is not integrable. In this thesis, methods for Fourier inversion of non-integrable characteristic functions are studied. In this respect, two theorems are obtained which are based on a suitable approximation of the unknown distribution with known density and characteristic function. Further it will be shown, that straightforward Fast Fourier inversion works, when the according density lives on a bounded interval. The above techniques are of crucial importance to determine the profit and loss distribution (P&L) of large portfolios efficiently. The so-called Delta Gamma normal approach has become industrial standard for the estimation of market risk. It is shown, that the performance of the Delta Gamma normal approach can be improved substantially by application of the developed methods. The same optimization procedure also applies to the Delta Gamma Student model. A standard tool for computing the P&L distribution of a loan portfolio is the CreditRisk+ model. Basically, the CreditRisk+ distribution is a discrete distribution which can be computed from its probability generating function. For this a numerically stable method is presented and as an alternative, a new algorithm based on Fourier inversion is proposed. Finally, an extension of the CreditRisk+ model to market risk is developed, which distribution can be obtained efficiently by the presented Fourier inversion methods as well.
• Diese Dissertation beschreibt verbesserte Methoden und Algorithmen zur Bewertung von Markt- und Kreditrisiken und präsentiert deren Anwendung im Rahmen von sowohl standard als auch innovativen Marktmodellen. Die Methoden und Algorithmen zur Analyse des Marktrisikos komplexer Portfolios benötigen eine genaue Kenntnis der Optionssensitivitäten, der sogenannten "Griechen". Eine Analyse der Symmetrien in den Finanzmärkten zeigt Beziehungen zwischen den Griechen auf, die ihre effiziente Berechnung ermöglichen. Diese Relationen werden hauptsächlich im Black Scholes Modell erläutert, jedoch gelten einige dieser Beziehungen auch in allgemeineren Modellen, zum Beispiel im Heston Model. Im allgemeinen werden Portfolios von vielen Basisinstrumenten beeinflusst, daher ist es notwendig, ihre Abhängigkeiten zu charakterisieren. Es ist üblich, solche Abhängigkeiten durch Korrelationsmatrizen zu beschreiben. Jedoch sind die geschätzten Korrelationsmatrizen in der Praxis durch statistische Fehler gestört oder sind aufgrund fehlender Daten singulär. Ein schneller Algorithmus wird vorgestellt, der eine verallgemeinerte Cholesky Zerlegung einer gestörten Korrelationsmatrix liefert. Der Vorteil der verallgemeinerten Methode besteht im Gegensatz zum standard Cholesky Algorithmus darin, dass sie auch auf semi-positive, Rank defiziente Matrizen angewandt werden kann. Außerdem liefert sie eine approximative Zerlegung, falls die Eingangsmatrix indefinit ist. Ein Vergleich mit anderen bekannten Algorithmen, die ähnliche Eigenschaften aufweisen, wird vorgenomen und es stellt sich heraus, dass der neue Algorithmus in den Situationen zu empfehlen ist, in denen der Rechenaufwand besonders kritisch ist. Die Bestimmung der Gewinn- und Verlustverteilung (P&L) mit Hilfe der klassischen Fourier Invertierung der entsprechenden charakteristischen Funktion ist eine wichtige Methode, die jedoch bei nicht-integrablen charakteristischen Funktionen divergiert. In dieser Arbeit werden zwei Sätze aufgezeigt, die die Fourier Invertierung nicht-integrabler charakteristischer Funktionen erlauben, indem die unbekannte Verteilung durch eine Verteilung mit bekannter Dichte und charakteristischer Funktion approximiert wird. Es wird außerdem gezeigt, dass der FFT Algorithmus dazu geeignet ist die Invertierung durchzuführen, wenn die zugehörige Dichte einen kompakten Träger besitzt. Diese Methoden spielen eine entscheidende Rolle bei der effizienten Bestimmung der Gewinn- und Verlustverteilung großer Portfolios. Der sogenannte "Delta Gamma Normal" Ansatz wurde der Industriestandard für die Einschätzung von Marktrisiken. Es wird gezeigt, dass die Anwendung der vorgestellten Methoden zur substantiellen Reduzierung des Rechenaufwandes dieses Ansatzes führt. Die gleichen Optimierungen lassen sich auch auf das Delta Gamma Student Modell übertragen. Ein Standard-Modell zur Bestimmung der P&L eines Kreditportfolios ist CreditRisk+. Dessen Verteilung ist diskret und kann mit Hilfe der Wahrscheinlichkeit erzeugenden Funktion bestimmt werden. Dafür wird eine numerisch stabile Methode vorgestellt und als Alternative wird ein neuer, auf der Fourier Invertierung beruhender Algorithmus, präsentiert. Ferner wird eine Verallgemeinerung des CreditRisk+ Modells entwickelt, die auch Marktrisiken berücksichtigt und deren zugehörige Verteilung mit den vorgestellten Fourier Methoden effizient bestimmt werden kann.