Petra Meyer

• Aus der Körpertheorie ist der Satz von der Normalbasis bekannt , der besagt, dass es zu jeder endlichen Galoiserweiterung L/K ein Element in L gibt, dessen Konjugierte unter der Galoisgruppe von L/K eine K-Basis von L bilden. Ein solches Element wird als regulär in L/K bezeichnet, die zugehörige K-Basis von L heisst Normalbasis. Für einen Zwischenkörper M einer Galoiserweiterung L/K ist nach dem Hauptsatz der Galoistheorie auch L/M galoissch und besitzt infolgedessen eine Normalbasis. Ist ein reguläres Element von L/K auch regulär in L/M für alle Zwischenkörper M von L/K, so wird es vollständig regulär in L/K genannt. Dies wirft die Frage auf, ob es in jeder Galoiserweiterung ein vollständig reguläres Element gibt. Wie sich zeigt, kann diese Frage für alle endlichen Galoiserweiterungen bejaht werden. Ein reguläres Element x einer Galoiserweiterung L/K ist durch zwei Eigenschaften gekennzeichnet: zum einen wird L von x über K erzeugt und zum anderen sind die Konjugierten von x unter der Galoisgruppe von L/K linear unabh"angig über K. Letzteres besagt gerade, dass die Nullstellen des Minimalpolynoms von x über K linear unabhängig über K sind. Hat x diese zweite Eigenschaft, so heisst x frei über K. Ist x ein Element aus einer algebraische Hülle A von K, so wird x vollst"andig frei über K genannt, wenn für jeden Zwischenkörper M von A/K die Nullstellen des Minimalpolynoms von x über M linear unabhängig über M sind. Es lässt sich zeigen, dass ein x aus A genau dann vollständig frei über K ist, wenn x frei über allen Zwischenkörpern M von N/K ist, wobei N den Zerfällungskörper des Minimalpolynoms von x über K bezeichnet. Dass es in jeder endlichen Galoiserweiterung L/K ein vollständig reguläres Element gibt, ist daher ein Spezialfall der Aussage, dass es in jeder endlichen, separablen Körpererweiterung L/K ein über K vollständig freies Element gibt, welches L erzeugt. Das erste Ziel dieser Arbeit ist deshalb der Beweis, dass jede endliche, separable Körpererweiterung L/K von einem über K vollständig freien Element erzeugt wird. Ist K ein Körper mit unendlich vielen Elementen, so ist der Beweis eine Verallgemeinerung des Beweises von E. Artin zur Existenz von Normalbasen in Galoiserweiterungen. Weitaus schwieriger ist der Fall, wenn K ein endlicher Körper ist. Dann ist L/K stets eine Galoiserweiterung und die über K vollständig freien Elemente, die L über K erzeugen, sind genau diejenigen, die in L/K vollständig regulär sind. Ist G die Galoisgruppe von L/K, so lässt sich L zu einem KG-Modul machen, der als solcher wegen des Satzes von der Normalbasis sogar isomorph zu KG ist. Ein Element aus L ist genau dann regulär in L/K, wenn es in keinem echten KG-Teilmodul von L liegt. Entsprechendes gilt natürlich auch für alle Zwischenkörper M von L/K. Das heisst, ein Element aus L ist genau dann vollständig regulär in L/K, falls es für keinen Zwischenkörper M von L/K in einem echten M U -Teilmodul von L liegt; hierbei bezeichnet U die Galoisgruppe von L/M . In Abschnitt 2 wird gezeigt, dass der Beweis auf den Fall, dass G eine zyklische Gruppe von Primzahlpotenzordnung ist, reduziert werden kann. Durch nähere Betrachtung der M U -Teilmoduln von L für diese Situation, wobei bereits allgemeiner K und L nicht als endlich vorausgesetzt werden, lässt sich dann zeigen, dass es stets ein Element in L gibt, das vollständig regulär in L/K ist. Die Tatsache, dass es in jeder Galoiserweiterung L/K ein vollständig reguläres Element gibt, lässt natürlich nicht darauf schliessen, dass jedes reguläre Element in L/K auch schon vollst"andig regulär in L/K ist. Dies leitet über zu der von C. C. Faith gestellten Frage, wann in einer endlichen, abelschen Galoiserweiterung jedes reguläre Element schon vollständig regulär ist; eine solche Galoiserweiterung heisst dann vollst"andig regulär. Im letzten Abschnitt wird diese Frage für Galoiserweiterungen L/K mit zyklischer Galoisgruppe G von Primzahlpotenzordnung beantwortet. Ist G = qn mit einer Primzahl q, so gibt es zwei Möglichkeiten: entweder q ist gleich oder q ist ungleich der Charakteristik von K. Im ersten Fall lässt sich relativ einfach zeigen, dass L/K stets vollständig regulär ist, selbst wenn G nur als abelsche q-Gruppe vorausgesetzt wird. Ist hingegen q ungleich der Charakteristik von K, so ist weit mehr Aufwand erforderlich. Die Untersuchung der Strukturen von L als M U -Modul für die verschiedenen Zwischenkörper M von L/K, - hierbei ist U wieder die Galoisgruppe von L/M -, die schon beim Existenzbeweis von vollständig regulären Elementen durchgeführt wird, ist dabei das entscheidende Hilfsmittel. Unter den gemachten Voraussetzungen ergibt sich dann folgende Charakterisierung einer vollständig regulären Erweiterung: L/K ist genau dann vollständig regulär, wenn L / K[iq] = K gilt, wobei i eine primitive qnte Einheitswurzel ist. Wird K zusätzlich als endlich angenommen, so l"asst sich dieses notwendige und hinreichende Kriterium sogar recht einfach überprüfen.