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## A mathematical analysis of foam films

### Eine mathematische Untersuchung von Schaum-Lamellen

• In the filling process of a car tank, the formation of foam plays an unwanted role, as it may prevent the tank from being completely filled or at least delay the filling. Therefore it is of interest to optimize the geometry of the tank using numerical simulation in such a way that the influence of the foam is minimized. In this dissertation, we analyze the behaviour of the foam mathematically on the mezoscopic scale, that is for single lamellae. The most important goals are on the one hand to gain a deeper understanding of the interaction of the relevant physical effects, on the other hand to obtain a model for the simulation of the decay of a lamella which can be integrated in a global foam model. In the first part of this work, we give a short introduction into the physical properties of foam and find that the Marangoni effect is the main cause for its stability. We then develop a mathematical model for the simulation of the dynamical behaviour of a lamella based on an asymptotic analysis using the special geometry of the lamella. The result is a system of nonlinear partial differential equations (PDE) of third order in two spatial and one time dimension. In the second part, we analyze this system mathematically and prove an existence and uniqueness result for a simplified case. For some special parameter domains the system can be further simplified, and in some cases explicit solutions can be derived. In the last part of the dissertation, we solve the system using a finite element approach and discuss the results in detail.
• Bei der Befüllung eines Kraftfahrzeugtankes spielt die Entstehung von Schaum eine unerwünschte Rolle, da dieser unter Umständen ein vollständiges Betanken verhindern oder zumindest verzögern kann. Es ist daher von Interesse, die Tankgeometrie unter Einsatz von numerischer Simulation dergestalt zu optimieren, dass die Beeinträchtigung durch den Einfluss des Schaums minimiert wird. In dieser Dissertation wird das Verhalten von Schaum auf mezoskopischer Ebene, dass heisst für einzelne Schaumlamellen, mathematisch untersucht. Die wichtigsten Ziele hierbei sind zum einen die Erlangung eines tieferen Verständnisses für das Zusammenwirken der relevanten physikalischen Effekte, zum anderen der Erhalt eines Modells zur Beschreibung des Zerfalls einer Lamelle, das in ein globales Schaummodell integriert werden kann. Im ersten Teil der Arbeit wird eine kurze Einführung in die physikalischen Eigenschaften von Schaum gegeben, wobei sich der sogenannte Marangoni-Effekt als ursächlich für die Stabilität des Schaums herausstellt. Danach wird mittels asymptotischer Analysis unter Ausnutzung der speziellen Geometrie ein mathematisches Modell zur Simulation der Dynamik einer Lamelle aufgestellt. Das resultierende System ist ein nichtlineares System partieller Differentialgleichung (PDE) dritter Ordnung in zwei Raum- und einer Zeitdimension. Im zweiten Teil wird dieses System mathematisch analysiert und ein Existenzresultat für einen vereinfachten Fall bewiesen. Für einige spezielle Parameterbereiche kann das System weiter vereinfacht und teilweise explizite Lösungen hergeleitet werden. Im letzten Teil der Arbeit wird das System mittels eines Finite Elemente Ansatzes numerisch gelöst und eine ausführliche Diskussion der Ergebnisse vorgenommen.

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Author: Christian Schick urn:nbn:de:hbz:386-kluedo-17884 3-8322-3553-1 Helmut Neunzert Doctoral Thesis English 2004 2004 Technische Universität Kaiserslautern Technische Universität Kaiserslautern 2004/09/24 2004/11/09 Dünnfilmapproximation; SchaumzerfallFoam decay; Thin film approximation Asymptotik; Marangoni-Effekt; Nichtlineare partielle Differentialgleichung; Schaum Fachbereich Mathematik 5 Naturwissenschaften und Mathematik / 510 Mathematik 35-XX PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS / 35Kxx Parabolic equations and systems [See also 35Bxx, 35Dxx, 35R30, 35R35, 58J35] / 35K55 Nonlinear parabolic equations 65-XX NUMERICAL ANALYSIS / 65Mxx Partial differential equations, initial value and time-dependent initial- boundary value problems / 65M99 None of the above, but in this section 76-XX FLUID MECHANICS (For general continuum mechanics, see 74Axx, or other parts of 74-XX) / 76Dxx Incompressible viscous fluids / 76D05 Navier-Stokes equations [See also 35Q30] 76-XX FLUID MECHANICS (For general continuum mechanics, see 74Axx, or other parts of 74-XX) / 76Dxx Incompressible viscous fluids / 76D45 Capillarity (surface tension) [See also 76B45] Standard gemäß KLUEDO-Leitlinien vor dem 27.05.2011