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## Maximizing the Asymptotic Growth Rate under Fixed and Proportional Transaction Costs in a Financial Market with Jumps

• In this thesis we consider the problem of maximizing the growth rate with proportional and fixed costs in a framework with one bond and one stock, which is modeled as a jump diffusion with compound Poisson jumps. Following the approach from [1], we prove that in this framework it is optimal for an investor to follow a CB-strategy. The boundaries depend only on the parameters of the underlying stock and bond. Now it is natural to ask for the investor who follows a CB-strategy which is given by the stopping times $$(\tau_i)_{i\in\mathbb N}$$ and impulses $$(\eta_i)_{i\in\mathbb N}$$ how often he has to rebalance. In other words we want to obtain the limit of the inter trading times $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\tau_{i+1}-\tau_{i}).$ We are able to obtain this limit which is given by the expected first exit time of the risky fraction process from some interval under the invariant measure of the Markov chain $$(\eta_i)_{i\in\mathbb N}$$ using the Ergodic Theorem from von Neumann and Birkhoff. In general, it is difficult to obtain the expectation of the first exit time for the process with jumps. Because of the jump part, when the process crosses the boundaries of the interval an overshoot may occur which makes it difficult to obtain the distribution. Nevertheless we can obtain the first exit time if the process has only negative jumps using scale functions. The main difficulty of this approach is that the scale functions are known only up to their Laplace transforms. In [2] and [3] the closed-form expression for the scale function of the Levy process with phase-type distributed jumps is obtained. Phase-type distributions build a rich class of positive-valued distributions: the exponential, hyperexponential, Erlang, hyper-Erlang and Coxian distributions. Since the scale function is given as a function in a closed form we can differentiate to obtain the expected first exit time using the fluctuation identities explicitly. [1] Irle, A. and Sass,J.: Optimal portfolio policies under fixed and proportional transaction costs, Advances in Applied Probability 38, 916-942. [2] Egami, M., Yamazaki, K.: On scale functions of spectrally negative Levy processes with phase-type jumps, working paper, July 3. [3]Egami, M., Yamazaki, K.: Precautionary measures for credit risk management in jump models, working paper, June 17.
• In dieser Dissertation wird das Problem der Maximierung der asymptotischen Wachstumsrate behandelt. Dabei betrachten wir ein Finanzmarkt, bestehend aus einer Aktie und einem Bankkonto, in dem der Händler proportionale und fixe Kosten fürs Handeln zahlt. Die Aktie ist modelliert als eine Sprung-Diffusion mit zusammengesetzten Poissonprozess. Wir zeigen, dass es optimal ist in diesem Markt eine Strategie mit konstanten Schranken zu verfolgen. Dabei übertragen wie die Beweisidee aus [1] auf den Markt mit Sprüngen. In dem zweiten Teil der Arbeit beschäftigen wir uns mit der Häufigkeit des Handels für eine Strategie mit konstanten Schranken, die gegeben ist durch die Handelszeiten $$(\tau_i)_{i\in\mathbb N}$$ und die Impulse $$(\eta_i)_{i\in\mathbb N}$$. Wir sind also interessiert am Grenzwert $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\tau_{i+1}-\tau_{i}).$ Mit dem Ergodensatz von Birkhoff und Neumann lässt sich zeigen, dass dieser Grenzwert bestimmt ist durch die erwartete Austrittszeit von dem Wertanteilsprozess aus einem Intervall unter dem invarianten Maß von $$(\eta_i)_{i\in\mathbb N}$$. Es ist sehr schwierig die Erstaustrittszeit zu bestimmen für einen allgemeinen Levy-Prozess. Wenn man allerdings annimmt, dass der Prozess nur einseitige Sprünge hat kann man die Theorie der Skalenfunktion verwenden. Wir benutzen die explizite Darstellung von Skalenfunktionen für Sprünge vom phasentyp aus [2] und [3] und leiten eine explizite Formel für die Erstaustrittszeit her. [1] Irle, A. and Sass,J.: Optimal portfolio policies under fixed and proportional transaction costs, Advances in Applied Probability 38, 916-942. [2] Egami, M., Yamazaki, K.: On scale functions of spectrally negative Levy processes with phase-type jumps, working paper, July 3. [3]Egami, M., Yamazaki, K.: Precautionary measures for credit risk management in jump models, working paper, June 17.