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## Asymptotics for change-point tests and change-point estimators

• In change-point analysis the point of interest is to decide if the observations follow one model or if there is at least one time-point, where the model has changed. This results in two sub- fields, the testing of a change and the estimation of the time of change. This thesis considers both parts but with the restriction of testing and estimating for at most one change-point. A well known example is based on independent observations having one change in the mean. Based on the likelihood ratio test a test statistic with an asymptotic Gumbel distribution was derived for this model. As it is a well-known fact that the corresponding convergence rate is very slow, modifications of the test using a weight function were considered. Those tests have a better performance. We focus on this class of test statistics. The first part gives a detailed introduction to the techniques for analysing test statistics and estimators. Therefore we consider the multivariate mean change model and focus on the effects of the weight function. In the case of change-point estimators we can distinguish between the assumption of a fixed size of change (fixed alternative) and the assumption that the size of the change is converging to 0 (local alternative). Especially, the fixed case in rarely analysed in the literature. We show how to come from the proof for the fixed alternative to the proof of the local alternative. Finally, we give a simulation study for heavy tailed multivariate observations. The main part of this thesis focuses on two points. First, analysing test statistics and, secondly, analysing the corresponding change-point estimators. In both cases, we first consider a change in the mean for independent observations but relaxing the moment condition. Based on a robust estimator for the mean, we derive a new type of change-point test having a randomized weight function. Secondly, we analyse non-linear autoregressive models with unknown regression function. Based on neural networks, test statistics and estimators are derived for correctly specified as well as for misspecified situations. This part extends the literature as we analyse test statistics and estimators not only based on the sample residuals. In both sections, the section on tests and the one on the change-point estimator, we end with giving regularity conditions on the model as well as the parameter estimator. Finally, a simulation study for the case of the neural network based test and estimator is given. We discuss the behaviour under correct and mis-specification and apply the neural network based test and estimator on two data sets.
• Die Change-point Analyse beschäftigt sich mit der Analyse von Beobachtungen hinsichtlich Veränderungen. Im Fokus steht die Fragestellung ob die Beobachtungen einem Modell folgt oder ob es Zeitabschnitte gibt in denen ein anderes Modell zugrunde liegt. Hieraus ergeben sich zwei Teilgebiete, eines welches sich mit dem Testen auf Modellwechsel beschäftigt und ein anderes, welches das Schätzen des Zeitpunktes zum Ziel hat. Diese Arbeit beschäftigt sich mit beiden Gebieten, jedoch mit der Einschränkung das maximal ein Zeitpunkt der Änderung erwartet wird. Ein bekanntes Beispiel basiert auf unabhängigen Beobachtungen und betrachtet die Änderungen im Mittelwert. Hier erhält man auf Basis des Likelihood- ratio Tests eine Statistik deren asymptotische Verteilung Gumbel ist. Aus der Extremwerttheorie ist bekannt, dass die Konvergenz gegen diese Verteilung sehr langsam erfolgt. Daher wurde die Teststatistik mit Gewichtsfunktionen modifiziert. Diese Tests haben ein besseres Konvergenzverhalten. Wir untersuchen hier diese Klasse von Teststatistiken. Der erste Abschnitt dieser Arbeit gibt eine Einführung in die verwendeten Techniken zur Analyse von Change-point Tests und Schätzern. Wir nutzen hierfür das mehrdimensionale Modell einer Mittelwertänderung bei unabhängigen Beobachtungen. Ein Schwerpunkt dieses Abschnittes liegt auf dem Verständnis der Gewichtsfunktion. Für den Schätzer des Zeitpunktes der Änderung wird unterschieden zwischen der Annahme einer festen Änderungsgröße (feste Alternative) und der Annahme das diese Änderung asymptotisch verschwindet (lokale Alternative). Für den Fall der festen Alternative gibt es kaum Literatur. Wir zeigen hier, wie der Beweis für die feste Alternative die Grundlage zum Beweis der lokalen Alternative bildet. Abschließend geben wir die Resultate einer Simulationsstudie für mehrdimensionale heavy-tailed Beobachtungen. Im Hauptteil der Arbeit werden zuerst Teststatistiken und anschließend die zugehörigen Schätzer untersucht. Hierbei wird jeweils zuerst eine Mittelwertsänderung für unabhängige Beobachtungen untersucht, wobei Momentenannahmen abgeschwächt wurden. Basierend auf robusten Schätzern für Mittelwerte, erhalten wir eine neue Art von Change-point Tests deren Gewichtsfunktion zufällig ist. Das zweite Modell untersucht nichtlineare (auto-)regressive Zeitreihen, bei denen die Regressionsfunktion unbekannt ist. Basierend auf Neuronalen Netzen werden Tesstatistiken sowie Schätzer für korrekt spezifizierte und misspezifizierte Modelle analysiert. Dieser Teil erweitert die Literatur in dem Sinne, dass die Statistiken nicht nur auf den geschätzten Residuen basieren. Beide Abschnitte, Test und Schätzer, werden abgeschlossen mit der Ana- lyse von Regularisierungsbedingungen für das Modell sowie die Parameterschätzer, so dass das asymptotische Verhalten der Tests und Change-point Schätzer gezeigt werden kann. Abschließend wird eine Simulationsstudie vorgestellt welche das Verhalten des Tests und des Schätzers basierend auf Neuronalen Netzen im Fall der Misspezifikation und auch der Korrektspezifikation analysiert. Diese Tests und Schätzer werden auf zwei Datensätze angewendet.