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## Mathematical Modeling and Numerical Simulation of Magnetoelastic Coupling

• Magnetoelastic coupling describes the mutual dependence of the elastic and magnetic fields and can be observed in certain types of materials, among which are the so-called "magnetostrictive materials". They belong to the large class of "smart materials", which change their shape, dimensions or material properties under the influence of an external field. The mechanical strain or deformation a material experiences due to an externally applied magnetic field is referred to as magnetostriction; the reciprocal effect, i.e. the change of the magnetization of a body subjected to mechanical stress is called inverse magnetostriction. The coupling of mechanical and electromagnetic fields is particularly observed in "giant magnetostrictive materials", alloys of ferromagnetic materials that can exhibit several thousand times greater magnitudes of magnetostriction (measured as the ratio of the change in length of the material to its original length) than the common magnetostrictive materials. These materials have wide applications areas: They are used as variable-stiffness devices, as sensors and actuators in mechanical systems or as artificial muscles. Possible application fields also include robotics, vibration control, hydraulics and sonar systems. Although the computational treatment of coupled problems has seen great advances over the last decade, the underlying problem structure is often not fully understood nor taken into account when using black box simulation codes. A thorough analysis of the properties of coupled systems is thus an important task. The thesis focuses on the mathematical modeling and analysis of the coupling effects in magnetostrictive materials. Under the assumption of linear and reversible material behavior with no magnetic hysteresis effects, a coupled magnetoelastic problem is set up using two different approaches: the magnetic scalar potential and vector potential formulations. On the basis of a minimum energy principle, a system of partial differential equations is derived and analyzed for both approaches. While the scalar potential model involves only stationary elastic and magnetic fields, the model using the magnetic vector potential accounts for different settings such as the eddy current approximation or the full Maxwell system in the frequency domain. The distinctive feature of this work is the analysis of the obtained coupled magnetoelastic problems with regard to their structure, strong and weak formulations, the corresponding function spaces and the existence and uniqueness of the solutions. We show that the model based on the magnetic scalar potential constitutes a coupled saddle point problem with a penalty term. The main focus in proving the unique solvability of this problem lies on the verification of an inf-sup condition in the continuous and discrete cases. Furthermore, we discuss the impact of the reformulation of the coupled constitutive equations on the structure of the coupled problem and show that in contrast to the scalar potential approach, the vector potential formulation yields a symmetric system of PDEs. The dependence of the problem structure on the chosen formulation of the constitutive equations arises from the distinction of the energy and coenergy terms in the Lagrangian of the system. While certain combinations of the elastic and magnetic variables lead to a coupled magnetoelastic energy function yielding a symmetric problem, the use of their dual variables results in a coupled coenergy function for which a mixed problem is obtained. The presented models are supplemented with numerical simulations carried out with MATLAB for different examples including a 1D Euler-Bernoulli beam under magnetic influence and a 2D magnetostrictive plate in the state of plane stress. The simulations are based on material data of Terfenol-D, a giant magnetostrictive materials used in many industrial applications.
• Magnetoelastische Kopplung beschreibt die wechselseitige Abhängigkeit der elastischen und magnetischen Felder und tritt z.B. in sogenannten "magnetostriktiven Materialien" auf. Sie gehören zur Klasse der "Smart Materials", intelligenten Werkstoffen, die in der Lage sind, ihre Form oder Eigenschaften unter dem Einwirken eines externen Feldes zu verändern. Die mechanische Deformation eines Materials, das einem magnetischen Feld ausgesetzt ist, wird dabei als Magnetostriktion bezeichnet; den reziproken Effekt, die Änderung der Magnetisierung eines Körpers in Folge einer mechanischen Belastung, nennt man inverse Magnetostriktion. Die Kopplung der mechanischen und elektromagnetischen Felder wird insbesondere bei sogenannten riesen-magnetostriktiven Materialien ("Giant magnetostrictive materials") beobachtet, Legierungen von ferromagnetischen Materialien, die im Vergleich zu den gängigen magnetostriktiven Materialien tausendfach höhere Werte von Magnetostriktion aufweisen können (gemessen als das Verhältnis der Längenänderung eines Materials zu seiner ursprünglichen Länge). Diese Materialien haben ein breites Anwendungsspektrum: Sie werden eingesetzt als Apparate veränderlicher Steifigkeit, als Sensoren oder Aktuatoren in mechanischen Systemen oder als künstliche Muskel. Weitere mögliche Anwendungsgebiete sind Robotik, Vibrationskontrolle, Hydraulik oder Sonarsysteme. Trotz der großen Fortschritte des letzten Jahrezehntes in der rechnerischen Behandlung von gekoppelten Problemen, wird die zugrundeliegende Problemstruktur oft nicht vollständig verstanden, vor allem bei der Benutzung von "Black Box" - Simulationscodes. Eine gründliche Analyse der Eigenschaften des gekoppelten Systems ist daher eine bedeutsame Aufgabe. Diese Arbeit befasst sich mit der mathematischen Modellierung und Analyse von Kopplungseffekten in magnetostriktiven Materialien. Unter der Annahme von linearem und reversiblen Materialverhalten ohne magnetischer Hystereseeffekte wird ein gekoppletes magnetoelastisches Problem aufgestellt mit Hilfe zweier unterschiedlicher Ansätze: des magnetischen Skalarpotentials und des Vektorpotentials. Auf Basis eines Minimum-Energie-Prinzips wird in beiden Fällen ein System von PDGL hergeleitet und analysiert. Während das auf dem Skalarpotential basierende Modell nur stationäre elastische und magnetische Felder in Betracht zieht, werden bei dem Vektorpotential-Modell auch die Wirbelstrom-Approximation (Magneto-Quasistatik) und das volle Maxwell-System im Frequenzbereich untersucht. Die Besonderheit dieser Arbeit liegt in der Analyse der erhaltenen gekoppelten magnetoelastischen Probleme in Bezug auf deren Struktur, starken und schwachen Formulierungen, die zugehörigen Funktionenräume sowie die Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen. Es wird gezeigt, dass das auf dem Skalarpotential basierende Modell zu einem Sattelpunktproblem mit einem Strafterm führt, dessen eindeutige Lösbarkeit eng mit dem Nachweis einer Inf-sup-Bedingung im stetigen und im diskreten Fall zusammenhängt. Darüber hinaus wird der Einfluss einer Umformulierung der konstitutiven Gleichungen auf die Struktur des resultierenden Systems untersucht: Im Gegensatz zum skalaren Fall gelangt man durch das Benutzen der Vektorpotential-Formulierung zu einem symmetrischen System von PDGL. Die Abhängigkeit der Problemstruktur von der Wahl der Formulierung rührt von dem Unterschied der Energie- und Koenergieterme in der Lagrange-Funktion des Systems. Während bestimmte Kombinationen der elastischen und magnetischen Variablen eine gekoppelte Energiefunktion und somit ein symmetrisches Problem ergeben, führt die Wahl ihrer dualen Variablen zu einer Koenergiefunktion und somit zu einem Sattelpunktproblem. Die vorgestellten Modelle werden mit numerischen Simulationen verschiedener Beispiele mit der Software MATLAB ergänzt, wie etwa einem 1D-Modell der Deformation eines Euler-Bernoulli-Balkens in einem Magnetfeld oder einem 2D-Modell einer magnetostriktiven Platte im ebenen Spannungszustand. Für die Simulationen wurden Materialdaten von Terfenol-D, einem gängigen "Giant magnetostrictive material" benutzt.