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## Nonlinear Flow in Porous Media - Numerical Solution of the Navier-Stokes System with Two Pressures and Application to Paper Making

### Nichtlineare Strömung in porösen Medien - Numerische Lösung des Navier-Stokes-Systems mit zwei Drücken und Anwendung auf die Papierherstellung

• The aim of the thesis is the numerical investigation of saturated, stationary, incompressible Newtonian flow in porous media when inertia is not negligible. We focus our attention to the Navier-Stokes system with two pressures derived by two-scale homogenization. The thesis is subdivided into five Chapters. After the introductory remarks on porous media, filtration laws and upscaling methods, the first chapter is closed by stating the basic terminology and mathematical fundamentals. In Chapter 2, we start by formulating the Navier-Stokes equations on a periodic porous medium. By two-scale expansions of the velocity and pressure, we formally derive the Navier-Stokes system with two pressures. For the sake of completeness, known existence and uniqueness results are repeated and a convergence proof is given. Finally, we consider Stokes and Navier-Stokes systems with two pressures with respect to their relation to Darcy's law. Chapter 3 and Chapter 4 are devoted to the numerical solution of the nonlinear two pressure system. Therefore, we follow two approaches. The first approach which is developed in Chapter 3 is based on a splitting of the Navier-Stokes system with two pressures into micro and macro problems. The splitting is achieved by Taylor expanding the permeability function or by discretely computing the permeability function. The problems to be solved are a series of Stokes and Navier-Stokes problems on the periodicity cell. The Stokes problems are solved by an Uzawa conjugate gradient method. The Navier-Stokes equations are linearized by a least-squares conjugate gradient method, which leads to the solution of a sequence of Stokes problems. The macro problem consists of solving a nonlinear uniformly elliptic equation of second order. The least-squares linearization is applied to the macro problem leading to a sequence of Poisson problems. All equations will be discretized by finite elements. Numerical results are presented at the end of Chapter 3. The second approach presented in Chapter 4 relies on the variational formulation in a certain Hilbert space setting of the Navier-Stokes system with two pressures. The nonlinear problem is again linearized by the least-squares conjugate gradient method. We obtain a sequence of Stokes systems with two pressures. For the latter systems, we propose a fast solution method which relies on pre-computing Stokes systems on the periodicity cell for finite element basis functions acting as right hand sides. Finally, numerical results are discussed. In Chapter 5 we are concerned with modeling and simulation of the pressing section of a paper machine. We state a two-dimensional model of a press nip which takes into account elasticity and flow phenomena. Nonlinear filtration laws are incorporated into the flow model. We present a numerical solution algorithm and the chapter is closed by a numerical investigation of the model with special focus on inertia effects.
• Ziel der Arbeit ist die numerische Untersuchung von vollgesättigten, stationären, inkompressiblen Newton'schen Strömungen in porösen Medien für den Fall, wenn Trägheit nicht vernachlässigt werden kann. Im Blickfeld steht das Navier-Stokes-System mit zwei Drücken, welches durch Zwei-Skalen-Homogenisierung hergeleitet wird. Die Arbeitet gliedert sich in fünf Kapitel. Nach einleitenden Bemerkungen zu porösen Medien, Filtrationsgesetzen und Methoden zur Findung von Effektivgleichungen schliesst das erste Kapitel mit der Festlegung der Terminologie sowie der Formulierung einiger mathematischer Grundlagen. Das zweite Kapitel beginnt mit der Formulierung der Navier-Stokes-Gleichungen auf periodischen porösen Medien. Mittels des Zwei-Skalen-Ansatzes für die Geschwindigkeit und den Druck wird das Navier-Stokes-System mit zwei Drücken formal hergeleitet. Der Vollständigkeit halber werden bekannte Existenz-, Eindeutigkeits- und Konvergenzaussagen wiederholt. Am Ende des Kapitels steht eine Betrachtung der Stokes- und Navier-Stokes-Systeme mit zwei Drücken im Blick auf ihre Beziehung zum Darcy'schen Gesetz. Kapitel 3 und Kapitel 4 sind der numerischen Lösung des nichtlinearen Systems mit zwei Drücken gewidmet. Es werden zwei Ansätze verfolgt: Der erste Zugang ist in Kapitel 3 entwickelt und basiert auf der Trennung des Navier-Stokes-Systems mit zwei Drücken in ein Mikro- und ein Makroproblem. Die Trennung wird durch eine Taylorentwicklung der Permeabilitätsfunktion oder, alternativ durch die diskrete Berechnung derselben erzielt. Die Probleme, die dabei zu lösen sind, sind eine Reihe von Stokes- bzw. Navier-Stokes-Probleme auf der Periodizitätszelle. Die Stokes-Probleme werden unter Verwendung eines Uzawa-Algorithmus gelöst. Die Linearisierung der Navier-Stokes-Gleichungen erfolgt mit Hilfe einer Least-Squares-Methode und führt auf eine Folge von Stokes-Problemen. Das Makroproblem besteht in der Lösung einer nichtlinearen, gleichförmig elliptischen Gleichung zweiter Ordnung. Nach erneuter Anwendung einer Least-Squares-Methode reduziert sich die Lösung des Makroproblems auf eine Folge zu lösender Poisson-Gleichungen. Die Diskretisierung aller Gleichungen erfolgt durch Finite Elemente. Das Kapitel schliesst mit der Darstellung numerischer Ergebnisse. Der zweite Lösungsansatz, der in Kapitel 4 vorgestellt wird, basiert auf einer Varationsformulierung des Navier-Stokes-Systems mit zwei Drücken in einem speziellen Hilbertraum. Das nichtlineare Problem wird wieder mittels einer Least-Squares-Formulierung linearisiert und führt auf eine Folge von Stokes- Systemen mit zwei Drücken. Zur Lösung dieser Probleme wird eine schnelle Lösung vorgeschlagen, die sich auf einer Vorabberechnung von Lösungen der Stokes- Gleichungen auf der Periodizitätszelle stützt. Die rechten Seiten stellen dabei Basisfunktionen einer Finite-Element-Diskretisierung dar. Am Ende des Kapitels steht die Diskussion numerischer Ergebnisse. In Kapitel 5 wird die Modellierung und Simulation der Pressenpartie einer Papiermaschine betrachtet. Es wird ein zweidimensionales Modell eines Pressspalts entwickelt, welches die elastischen und strömungsdynamischen Prozesse berücksichtigt. Nichtlineare Filtrationsgesetze auf Grundlage der Ergebnisse aus Kapitel 3 finden im Strömungsmodell Anwendung. Nach dem Entwurf eines numerischen Lösungsverfahrens schliesst das Kapitel mit einer numerischen Untersuchung des vorgeschlagenen Modells mit speziellen Fokus auf den Auswirkungen der Inertialeffekte.