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Combinatorics of Valuations on Curve Singularities

  • Using valuation theory we associate to a one-dimensional equidimensional semilocal Cohen-Macaulay ring \(R\) its semigroup of values, and to a fractional ideal of \(R\) we associate its value semigroup ideal. For a class of curve singularities (here called admissible rings) including algebroid curves the semigroups of values, respectively the value semigroup ideals, satisfy combinatorial properties defining good semigroups, respectively good semigroup ideals. Notably, the class of good semigroups strictly contains the class of value semigroups of admissible rings. On good semigroups we establish combinatorial versions of algebraic concepts on admissible rings which are compatible with their prototypes under taking values. Primarily we examine duality and quasihomogeneity. We give a definition for canonical semigroup ideals of good semigroups which characterizes canonical fractional ideals of an admissible ring in terms of their value semigroup ideals. Moreover, a canonical semigroup ideal induces a duality on the set of good semigroup ideals of a good semigroup. This duality is compatible with the Cohen-Macaulay duality on fractional ideals under taking values. The properties of the semigroup of values of a quasihomogeneous curve singularity lead to a notion of quasihomogeneity on good semigroups which is compatible with its algebraic prototype. We give a combinatorial criterion which allows to construct from a quasihomogeneous semigroup \(S\) a quasihomogeneous curve singularity having \(S\) as semigroup of values. As an application we use the semigroup of values to compute endomorphism rings of maximal ideals of algebroid curves. This yields an explicit description of the intermediate rings in an algorithmic normalization of plane central arrangements of smooth curves based on a criterion by Grauert and Remmert. Applying this result to hyperplane arrangements we determine the number of steps needed to compute the normalization of a the arrangement in terms of its Möbius function.
  • Mittels Bewertungen kann einem eindimensionalen equidimensionalen Cohen-Macaulay-Ring \(R\) seine Wertehalbgruppe sowie einem gebrochenen Ideal von \(R\) sein Wertehalbgruppenideal zugeordnet werden. Für eine Klasse von Kurvensingularitäten (hier als zulässige Ringe bezeichnet), die algebroide Kurven enthält, hat die Wertehalbgruppe bzw. das Wertehalbgruppenideal gewisse kombinatorische Eigenschaften, die zur Definition von guten Halbgruppen bzw. guten Halbgruppenidealen führen. Die Klasse der Wertehalbgruppen von zulässigen Ringen ist eine echte Unterklasse der Klasse der guten Halbgruppen. Dennoch können auf guten Halbgruppen kombinatorische Varianten von algebraischen Konzepten auf zulässigen Ringen definiert werden, die unter Bewertungen mit ihren Vorbildern kompatibel sind. Hauptsächlich untersuchen wir Dualität und Quasihomogenität. In dieser Arbeit werden kanonische Halbgruppenideal guter Halbgruppen definiert. Diese Definition charakterisiert kanonische gebrochene Ideale von zulässigen Ringen durch ihre Wertehalbgruppenideale. Darüber hinaus induzieren kanonische Halbgruppenideale eine Dualität auf der Menge der guten Halbgruppenideale einer guten Halbgruppe. Diese Dualität ist bezüglich Bewertungen mit der Cohen-Macaulay-Dualität auf gebrochenen Idealen verträglich. Anhand der Eigenschaften der Weltehalbgruppe einer quasihomogenen Kurvensingularität wird ein Konzept von Quasihomogenität auf guten Halbgruppen eingeführt, das ebenfalls mit dem algebraischen Vorbild verträglich ist. Insbesondere wird ein kombinatorisches Kriterium gegeben, das es ermöglicht, aus einer quasihomogenene Halbgruppe \(S\) eine quasihomogene Kurvensingularität mit Wertehalbgruppe \(S\) zu konstruieren. Mit Hilfe von Wertehalbgruppen werden Endomorphismenringe maximaler Ideale von algebroiden Kurven berechnet. Dies ermöglicht eine explizite Darstellung der Zwischenringe in einer auf einem Kriterium von Grauert und Remmert basierenden algorithmischen Normalisierung von ebenen zentralen Arrangements glatter Kurven. Dieses Resultat wird auf Hyperebenenarrangements angewendet, um die Anzahl der Schritte zur Normalisierung für Hyperebenenarrangements zu bestimmen. Diese Zahl kann aus der Möbius-Funktion des Arrangements abgeleitet werden.

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Metadaten
Author:Philipp Korell
URN (permanent link):urn:nbn:de:hbz:386-kluedo-53123
Advisor:Mathias Schulze
Document Type:Doctoral Thesis
Language of publication:English
Publication Date:2018/06/28
Year of Publication:2018
Publishing Institute:Technische Universität Kaiserslautern
Granting Institute:Technische Universität Kaiserslautern
Acceptance Date of the Thesis:2018/04/13
Date of the Publication (Server):2018/06/29
Tag:algebroid curve; canonical ideal; curve singularity; duality; endomorphism ring; good semigroup; normalization; quasihomogeneity; semigroup of values
Number of page:VIII, 317
Faculties / Organisational entities:Fachbereich Mathematik
DDC-Cassification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 510 Mathematik
MSC-Classification (mathematics):05-XX COMBINATORICS (For finite fields, see 11Txx) / 05Exx Algebraic combinatorics / 05E40 Combinatorial aspects of commutative algebra
13-XX COMMUTATIVE RINGS AND ALGEBRAS / 13Axx General commutative ring theory / 13A18 Valuations and their generalizations [See also 12J20]
13-XX COMMUTATIVE RINGS AND ALGEBRAS / 13Bxx Ring extensions and related topics
13-XX COMMUTATIVE RINGS AND ALGEBRAS / 13Hxx Local rings and semilocal rings / 13H10 Special types (Cohen-Macaulay, Gorenstein, Buchsbaum, etc.) [See also 14M05]
14-XX ALGEBRAIC GEOMETRY / 14Hxx Curves / 14H20 Singularities, local rings [See also 13Hxx, 14B05]
20-XX GROUP THEORY AND GENERALIZATIONS / 20Mxx Semigroups / 20M14 Commutative semigroups
Licence (German):Creative Commons 4.0 - Namensnennung, nicht kommerziell, keine Bearbeitung (CC BY-NC-ND 4.0)