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## Discrete Geometric Methods for Surface Deformation and Visualisation

• Industrial design has a long history. With the introduction of Computer-Aided Engineering, industrial design was revolutionised. Due to the newly found support, the design workflow changed, and with the introduction of virtual prototyping, new challenges arose. These new engineering problems have triggered new basic research questions in computer science. In this dissertation, I present a range of methods which support different components of the virtual design cycle, from modifications of a virtual prototype and optimisation of said prototype, to analysis of simulation results. Starting with a virtual prototype, I support engineers by supplying intuitive discrete normal vectors which can be used to interactively deform the control mesh of a surface. I provide and compare a variety of different normal definitions which have different strengths and weaknesses. The best choice depends on the specific model and on an engineer’s priorities. Some methods have higher accuracy, whereas other methods are faster. I further provide an automatic means of surface optimisation in the form of minimising total curvature. This minimisation reduces surface bending, and therefore, it reduces material expenses. The best results can be obtained for analytic surfaces, however, the technique can also be applied to real-world examples. Moreover, I provide engineers with a curvature-aware technique to optimise mesh quality. This helps to avoid degenerated triangles which can cause numerical issues. It can be applied to any component of the virtual design cycle: as a direct modification of the virtual prototype (depending on the surface defini- tion), during optimisation, or dynamically during simulation. Finally, I have developed two different particle relaxation techniques that both support two components of the virtual design cycle. The first component for which they can be used is discretisation. To run computer simulations on a model, it has to be discretised. Particle relaxation uses an initial sampling, and it improves it with the goal of uniform distances or curvature-awareness. The second component for which they can be used is the analysis of simulation results. Flow visualisation is a powerful tool in supporting the analysis of flow fields through the insertion of particles into the flow, and through tracing their movements. The particle seeding is usually uniform, e.g. for an integral surface, one could seed on a square. Integral surfaces undergo strong deformations, and they can have highly varying curvature. Particle relaxation redistributes the seeds on the surface depending on surface properties like local deformation or curvature.
• Industrielles Design ist ein traditionsreiches Gebiet, welches durch die Einführung computergestützter Ingenieurwissenschaft revolutioniert wurde. Durch die Computerunterstützung wurden Arbeitsweisen stark verändert und, im Rahmen der Einführung virtueller Prototypen, neue Herausforderungen geschaffen. Diese neuen Herausforderungen im Ingenieurwesen brachten auch neue Forschungsfragen für die Informatik mit sich. In dieser Dissertation präsentiere ich eine Reihe von Methoden, welche verschiedene Komponenten des virtuellen Designzykluses unterstützen, von der Modifikation von virtuellen Prototypen über ihre Optimierung bis hin zur Analyse von Simulationstechniken. Von einem virtuellen Prototypen ausgehend unterstütze ich Ingenieurinnen und Ingenieure dabei, diesen interaktiv mit Hilfe eines Kontrollgitters zu verformen, indem ich intuitive diskrete Normalenvektoren bereitstelle. Ich definiere und vergleiche unterschiedliche Normalendefinitionen, welche verschiedene Stärken und Schwächen besitzen. Die beste Wahl hängt hierbei davon ab, welche Eigenschaften ein Modell hat, und wie die Prioritäten der Ingenieurin oder des Ingenieurs gesetzt sind. Manche Methoden sind exakter, während andere schneller sind. Weiterhin liefere ich eine automatische Flächenoptimierung durch die Minimierung der Gesamtkrümmung einer Fläche. Diese Minimierung reduziert die Flächenkrümmung und reduziert hierdurch Materialkosten. Die besten Resultate lassen sich für analytische Flächen erzielen, jedoch kann die Technik auch auf praxisnahe Beispiele angewendet werden. Darüber hinaus biete ich Ingenieurinnen und Ingenieuren eine krümmungs\-basierte Technik, um die Qualität von Gittern zu verbessern. Dies vermeidet degenerierte Dreiecke, welche sonst zu numerischen Problemen führen würden. Diese Optimierung kann in jedem Schritt des virtuellen Designzykluses angewendet werden: Als direkte Modifikation des virtuellen Prototyps (abhängig von der Flächendefinition), zur Zeit der Optimierung, oder dynamisch während der Simulation. Schlussendlich habe ich zwei verschiedene Partikelrelaxierungstechniken entwickelt, welche jeweils zwei Komponenten des virtuellen Designzykluses unterstützen. Die erste Komponente ist die Diskretisierung, welche nötig ist, um Computersimulationen auf analytischen Modellen durchzuführen. Die Partikelrelaxierung nutzt eine initiale Verteilung und verbessert diese mit dem Ziel, entweder eine Gleichverteilung auf der Fläche oder eine krümmungsabhängige Verteilung zu erreichen. Die zweite Komponente, für die die Relaxierung genutzt werden kann, ist die Analyse der Simulationsergebnisse. Vektorfeldvisualisierung ist ein mächtiges Werkzeug zur Analyse von Flussfeldern durch Verfolgen von Partikeln, die in einen Fluss hinzugegeben wurden. Üblicherweise beginnt eine solche Simulation mit einer gleichverteilten Menge an Partikeln, die z.B. in einem Quadrat angeordnet sind. Die daraus entstehenden Integralflächen unterliegen starken Deformierungen und können sehr variable Krümmungen haben. Die Partikelrelaxierung verteilt die Partikel abhängig von Kriterien wie lokaler Deformierung oder Krümmung auf der Fläche um.