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Continuous-Time Portfolio Optimization under Partial Information and Convex Constraints: Deriving Explicit Results

  • In this thesis we explicitly solve several portfolio optimization problems in a very realistic setting. The fundamental assumptions on the market setting are motivated by practical experience and the resulting optimal strategies are challenged in numerical simulations. We consider an investor who wants to maximize expected utility of terminal wealth by trading in a high-dimensional financial market with one riskless asset and several stocks. The stock returns are driven by a Brownian motion and their drift is modelled by a Gaussian random variable. We consider a partial information setting, where the drift is unknown to the investor and has to be estimated from the observable stock prices in addition to some analyst’s opinion as proposed in [CLMZ06]. The best estimate given these observations is the well known Kalman-Bucy-Filter. We then consider an innovations process to transform the partial information setting into a market with complete information and an observable Gaussian drift process. The investor is restricted to portfolio strategies satisfying several convex constraints. These constraints can be due to legal restrictions, due to fund design or due to client's specifications. We cover in particular no-short-selling and no-borrowing constraints. One popular approach to constrained portfolio optimization is the convex duality approach of Cvitanic and Karatzas. In [CK92] they introduce auxiliary stock markets with shifted market parameters and obtain a dual problem to the original portfolio optimization problem that can be better solvable than the primal problem. Hence we consider this duality approach and using stochastic control methods we first solve the dual problems in the cases of logarithmic and power utility. Here we apply a reverse separation approach in order to obtain areas where the corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman differential equation can be solved. It turns out that these areas have a straightforward interpretation in terms of the resulting portfolio strategy. The areas differ between active and passive stocks, where active stocks are invested in, while passive stocks are not. Afterwards we solve the auxiliary market given the optimal dual processes in a more general setting, allowing for various market settings and various dual processes. We obtain explicit analytical formulas for the optimal portfolio policies and provide an algorithm that determines the correct formula for the optimal strategy in any case. We also show optimality of our resulting portfolio strategies in different verification theorems. Subsequently we challenge our theoretical results in a historical and an artificial simulation that are even closer to the real world market than the setting we used to derive our theoretical results. However, we still obtain compelling results indicating that our optimal strategies can outperform any benchmark in a real market in general.
  • In dieser Arbeit lösen wir explizit mehrere Portfoliooptimierungsprobleme in einer sehr realistischen Umgebung. Die grundlegenden Annahmen an den Aufbau des Marktes sind durch praktische Erfahrungen motiviert und die resultierenden optimalen Portfoliostrategien werden in numerischen Simulationen überprüft. Wir betrachten eine Investorin, die den erwarteten Nutzen ihres Endvermögens maximieren möchte, indem sie in einem hoch-dimensionalen Finanzmarkt mit einer risikolosen Anlage und vielen Aktien handelt. Die Steigerungsraten der Aktien werden durch eine Brownsche Bewegung getrieben und ihr Drift wird durch eine normalverteilte Zufallsvariable modelliert. Da der Investorin diese Drift nicht bekannt ist, sind wir in einem Modell unter partiellen Informationen, wo die Drift durch die beobachtbaren Aktienpreise, sowie die Meinungen von Analysten geschätzt werden muss, wie es in [CLMZ06] vorgeschlagen wird. Gegeben diese Beobachtungen ist der beste Schätzer der gut bekannte Kalman-Bucy-Filter. Anschließend benutzen wir einen Innovationsprozess, um das Modell unter partiellen Informationen in einen Markt mit vollständigen Informationen und einem beobachtbaren normal-verteilten Driftprozess zu transformieren. Die Investorin darf nur Portfoliostrategien implementieren, die gewisse konvexe Nebenbedingungen einhalten. Diese Nebenbedingungen können von gesetzlichen Vorgaben, vom Fondsdesign oder von Kundenvorgaben können. Wir behandeln insbesondere die Verbote von Leerverkäufen und dem Leihen vom Bargeld. Ein bekannter Ansatz in der Portfoliooptimierung unter Nebenbedingungen ist der konvexe Dualitätsansatz von Cvitanic und Karatzas. In [CK92] führen sie Hilfsaktienmärkte mit verschobenen Marktparametern ein und erhalten ein duales Problem zum ursprünglichen Portfoliooptimierungsproblem, das besser lösbar als das ursprüngliche Problem sein kann. Daher betrachten wir diesen Dualitätsansatz und lösen die dualen Probleme mittels stochastischer Kontrollmethoden für logarithmischen und potenzierten Nutzen. Dabei nutzen wir einen inversen Separationsansatz, um Bereiche zu erhalten, auf denen die zugehörige Hamilton-Jacobi-Bellman Differentialgleichung gelöst werden kann. Wir stellen fest, dass diese Bereiche mit aktiven und passiven Aktien in der resultierenden Portfoliostrategie zusammenhängen, wobei die Investorin in aktive Aktien investiert und in passive nicht. Anschließend lösen wir den Hilfsmarkt mit dem optimal dualen Prozess unter sehr allgemeinen Bedingungen, die auf viele Marktmodelle und duale Prozesse zutreffen. Wir leiten explizite analytische Formeln für die optimalen Portfoliostrategien her und erhalten einen Algorithmus, der die richtigen Formeln für die optimalen Portfoliostrategien in jedem Fall bestimmt. Außerdem zeigen wir die Optimalität unserer resultierenden Portfoliostrategien in unterschiedlichen Verifizierungssätzen. Schließlich testen wir unsere theoretischen Ergebnisse in einer historischen und einer künstlichen Simulation, die beide sogar näher am echten Markt sind als unser theoretisches Marktmodell. Dennoch erhalten wir überzeugende Ergebnisse, die zeigen, dass unsere optimalen Strategien eine beliebige Benchmark in einem echten Markt übertreffen können.

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Metadaten
Author:Christian Vonwirth
URN (permanent link):urn:nbn:de:hbz:386-kluedo-46877
Advisor:Jörn Sass
Document Type:Doctoral Thesis
Language of publication:English
Publication Date:2017/07/19
Year of Publication:2017
Publishing Institute:Technische Universität Kaiserslautern
Granting Institute:Technische Universität Kaiserslautern
Acceptance Date of the Thesis:2017/07/07
Date of the Publication (Server):2017/07/21
Tag:Finanzmathematik; Portfoliooptimierung
convex constraints; financial mathematics; partial information; portfolio optimization
Number of page:VI, 193
Faculties / Organisational entities:Fachbereich Mathematik
DDC-Cassification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 510 Mathematik
MSC-Classification (mathematics):97-XX MATHEMATICS EDUCATION / 97Mxx Mathematical modeling. Applications of mathematics / 97M30 Financial and insurance mathematics
Licence (German):Creative Commons 4.0 - Namensnennung, nicht kommerziell (CC BY-NC 4.0)