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## Matrix Compression Methods for the Numerical Solution of Radiative Transfer in Scattering Media

### Matrixkompressionsverfahren zur numerischen Lösung von Strahlungstransportproblemen in streuenden Medien

• Radiative transfer in scattering media is usually described by the radiative transfer equation, an integro-differential equation which describes the propagation of the radiative intensity along a ray. The high dimensionality of the equation leads to a very large number of unknowns when discretizing the equation. This is the major difficulty in its numerical solution. In case of isotropic scattering and diffuse boundaries, the radiative transfer equation can be reformulated into a system of integral equations of the second kind, where the position is the only independent variable. By employing the so-called momentum equation, we derive an integral equation, which is also valid in case of linear anisotropic scattering. This equation is very similar to the equation for the isotropic case: no additional unknowns are introduced and the integral operators involved have very similar mapping properties. The discretization of an integral operator leads to a full matrix. Therefore, due to the large dimension of the matrix in practical applcation, it is not feasible to assemble and store the entire matrix. The so-called matrix compression methods circumvent the assembly of the matrix. Instead, the matrix-vector multiplications needed by iterative solvers are performed only approximately, thus, reducing, the computational complexity tremendously. The kernels of the integral equation describing the radiative transfer are very similar to the kernels of the integral equations occuring in the boundary element method. Therefore, with only slight modifications, the matrix compression methods, developed for the latter are readily applicable to the former. As apposed to the boundary element method, the integral kernels for radiative transfer in absorbing and scattering media involve an exponential decay term. We examine how this decay influences the efficiency of the matrix compression methods. Further, a comparison with the discrete ordinate method shows that discretizing the integral equation may lead to reductions in CPU time and to an improved accuracy especially in case of small absorption and scattering coefficients or if local sources are present.
• Strahlungstransport in streuenden Medien wird üblicherweise durch die Strahlungstransportgleichung beschrieben, eine Integro-Differentialgleichung, welche den Transport der Strahlungsintensität entlang eines Strahls beschreibt. Bei einer Diskretisierung führt die Hochdimensionalität der Gleichung zu einer sehr großen Anzahl an Unbekannten. Dies ist die Hauptschwierigkeit bei ihrer numerischen Lösung. Im Falle isotroper Streuung und diffuser Ränder kann die Strahlungstransportgleichung in ein System von Integralgleichungen zweiter Art umformuliert werden, in der der Ort die einzige unabhängige Variable ist. In dieser Arbeit wird durch Ausnutzen der sogenannten Momenten-Gleichung eine Integralgleichung hergeleitet, die auch im Falle linear-anisotroper Streuung gültig ist. Diese Gleichung ist sehr ähnlich zu derjenigen im isotropen Fall: es werden keine zusätzlichen Unbekannten benötigt und die Integraloperatoren haben sehr ähnliche Abbildungseigenschaften. Die Diskretisierung eines Integraloperators führt auf eine vollbesetzte Matrix. Aufgrund der großen Dimension der Matrix bei praktischen Anwendungen ist es daher unmöglich die gesamte Matrix aufzustellen und zu speichern. Die sogenannten Matrix-Kompressions-Verfahren umgehen die Aufstellung der Matrix. Stattdessen werden Matrix-Vektor-Multiplikationen, wie sie von iterativen Gleichungslsern bentigt werden, nur approximativ berechnet. Dadurch wird der Aufwand erheblich reduziert. Die Kerne der Integralgleichung, die den Strahlungstransport beschreiben, sind denjenigen Integralkernen, die bei der Randelemente-Methode auftreten, sehr ähnlich. Daher sind die Matrix-Kompressions-Verfahren, die für die letzteren Gleichungen entwickelt wurden, mit leichten Modifikationen auch auf Strahlungstransport-Probleme anwendbar. Im Unterschied zur Randelemente-Methode treten bei Strahlungstransport-Problemen aufgrund von Absorption und Streuung in einem semi-transparenten Medium exponentielle Dämpfungsterme in den Integralkernen auf. In dieser Arbeit wird der Einfluss dieses exponentiellen Abfalls auf die Effizienz der Matrix-Kompressions-Verfahren untersucht. Desweiteren zeigt ein Vergleich mit der Diskreten-Ordinaten-Methode, dass die Diskretisierung der Integralgleichung zu einer Reduktion der Rechenzeit und einer verbesserten Genauigkeit führen kann, insbesondere falls der Absorptions- und der Streukoeffizient klein sind oder falls es lokale Quellen gibt.

### Additional Services

Author: Peter Schlosser urn:nbn:de:bsz:386-kluedo-15636 Helmut Neunzert Doctoral Thesis English 2002 2002 Technische Universität Kaiserslautern Technische Universität Kaiserslautern 2003/02/11 2003/04/07 Hierarchische Matrix; Matrixkompressionhierarchical matrix; low-rank approximation Elektromagnetische Streuung; Fredholmsche Integralgleichung; Galerkin-Methode; Numerische Mathematik / Algorithmus; Strahlungstransport Fachbereich Mathematik 5 Naturwissenschaften und Mathematik / 510 Mathematik 41-XX APPROXIMATIONS AND EXPANSIONS (For all approximation theory in the complex domain, see 30E05 and 30E10; for all trigonometric approximation and interpolation, see 42A10 and 42A15; for numerical approximation, see 65Dxx) / 41Axx Approximations and expansions / 41A10 Approximation by polynomials (For approximation by trigonometric polynomials, see 42A10) 45-XX INTEGRAL EQUATIONS / 45Bxx Fredholm integral equations / 45B05 Fredholm integral equations 65-XX NUMERICAL ANALYSIS / 65Fxx Numerical linear algebra / 65F30 Other matrix algorithms 65-XX NUMERICAL ANALYSIS / 65Rxx Integral equations, integral transforms / 65R20 Integral equations 85-XX ASTRONOMY AND ASTROPHYSICS (For celestial mechanics, see 70F15) / 85Axx Astronomy and astrophysics (For celestial mechanics, see 70F15) / 85A25 Radiative transfer Standard gemäß KLUEDO-Leitlinien vor dem 27.05.2011