UNIVERSITÄTSBIBLIOTHEK

Periodic homogenization and FFT-based methods for resolving microstructures of linear magneto-elastic problems

  • In this thesis one considers the periodic homogenization of a linearly coupled magneto-elastic model problem and focuses on the derivation of spectral methods to solve the obtained unit cell problem afterwards. In the beginning, the equations of linear elasticity and magnetism are presented together with the physical quantities used within. After specifying the model assumptions, the system of partial differential equations is rewritten in a weak form for which the existence and uniqueness of solutions is discussed. The model problem then undergoes a homogenization process where the original problem is approximated by a substitute problem with a repeating micro-structural geometry that was generated from a representative volume element (RVE). The following separation of scales, which can be achieved either by an asymptotic expansion or through a two-scale limit process, yields the homogenized problem on the macroscopic scale and the periodic unit cell problem. The latter is further analyzed using Fourier series, leading to periodic Lippmann-Schwinger type equations allowing for the development of matrix-free solvers. It is shown that, while it is possible to craft a scheme for the coupled problem from the purely elastic and magnetic Lippmann-Schwinger equations alone without much additional effort, a more general setting is provided when deriving a Lippmann-Schwinger equation for the coupled system directly. These numerical approaches are then validated with some analytically solvable test problems, before their performance is tested against each other for some more complex examples.
  • Die vorliegende Dissertation fokussiert sich auf die periodische Homogenisierung eines linear gekoppelten magneto-elastischen Modellproblems, sowie die Herleitung spektraler Methoden für das dabei entstehende Zellenproblem. Zu Beginn werden die Gleichung der linearen Elastizität und des Magnetismus, sowie die dabei auftretenden physikalischen Größen vorgestellt. Nachdem die Annahmen für das Modellproblem konkretisiert wurden, wird das System von partiellen Differentialgleichungen in eine schwache Form überführt, für die anschließend die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung gezeigt wird. Das Modellproblem unterläuft daraufhin einen Homogenisierungsprozess, in dem es zunächst durch ein von einem RVE erzeugten Ersatzproblem mit sich wiederholender Mikrostruktur angenähert wird. Durch die darauf folgende Skalenteilung, die entweder durch Ansetzen einer asymptotischen Folge oder durch einen Zwei-Skalen--Grenzprozess erreicht werden kann, erhält man das homogenisierte Problem auf der makroskopischen Skala und das periodische Zellenproblem. Letzteres wird mittels Fourierreihen weiter betrachtet, um schließlich periodische Lippmann-Schwinger Gleichungen zu erhalten, welche den Entwurf Matrix-freier Löser erlauben. Es wird gezeigt, dass es zwar möglich ist aus den einzelnen Lippmann-Schwinger Gleichungen der rein elastischen und rein magnetischen Probleme ein numerisches Vorgehen ohne nennenswerten Mehraufwand zusammenzusetzen, die direkte Herleitung einer neuen Lippmann-Schwinger Gleichung für das gekoppelte System jedoch eine wesentlich allgemeinere Methodik liefert. Die numerischen Methoden werden abschließend zunächst an analytisch lösbaren Testproblemen validiert und anschließend gegeneinander in komplexeren Beispielen auf ihre Performance getestet.

Download full text files

Export metadata

Additional Services

Share in Twitter Search Google Scholar
Metadaten
Author:Felix Dietrich
URN (permanent link):urn:nbn:de:hbz:386-kluedo-65328
DOI:https://doi.org/10.26204/KLUEDO/6532
Advisor:Bernd Simeon
Document Type:Doctoral Thesis
Language of publication:English
Publication Date:2021/08/25
Year of Publication:2021
Publishing Institute:Technische Universität Kaiserslautern
Granting Institute:Technische Universität Kaiserslautern
Acceptance Date of the Thesis:2021/07/30
Date of the Publication (Server):2021/08/25
Tag:Basic Scheme; Composite Materials; FFT; Lippmann-Schwinger Equation; Magneto-Elastic Coupling; Microstructure; Periodic Homogenization; Spectral Method; Two-Scale Convergence
GND-Keyword:Diskrete Fourier-Transformation; Elastizität; Homogenisierung <Mathematik>; Lineare partielle Differentialgleichung; Mikrostruktur
Number of page:IX, 99
Faculties / Organisational entities:Fachbereich Mathematik
DDC-Cassification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 510 Mathematik
MSC-Classification (mathematics):35-XX PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS / 35Bxx Qualitative properties of solutions / 35B27 Homogenization; equations in media with periodic structure [See also 74Qxx, 76M50]
35-XX PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS / 35Qxx Equations of mathematical physics and other areas of application [See also 35J05, 35J10, 35K05, 35L05] / 35Q74 PDEs in connection with mechanics of deformable solids
65-XX NUMERICAL ANALYSIS / 65Nxx Partial differential equations, boundary value problems / 65N35 Spectral, collocation and related methods
65-XX NUMERICAL ANALYSIS / 65Txx Numerical methods in Fourier analysis / 65T40 Trigonometric approximation and interpolation
74-XX MECHANICS OF DEFORMABLE SOLIDS / 74Qxx Homogenization, determination of effective properties / 74Q05 Homogenization in equilibrium problems
74-XX MECHANICS OF DEFORMABLE SOLIDS / 74Qxx Homogenization, determination of effective properties / 74Q15 Effective constitutive equations
74-XX MECHANICS OF DEFORMABLE SOLIDS / 74Sxx Numerical methods [See also 65-XX, 74G15, 74H15] / 74S25 Spectral and related methods
Licence (German):Creative Commons 4.0 - Namensnennung, nicht kommerziell, keine Bearbeitung (CC BY-NC-ND 4.0)