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A comparison method for expectations of a class of continuous polytope functionals

  • Let \(a_1,\dots,a_n\) be independent random points in \(\mathbb{R}^d\) spherically symmetrically but not necessarily identically distributed. Let \(X\) be the random polytope generated as the convex hull of \(a_1,\dots,a_n\) and for any \(k\)-dimensional subspace \(L\subseteq \mathbb{R}^d\) let \(Vol_L(X) :=\lambda_k(L\cap X)\) be the volume of \(X\cap L\) with respect to the \(k\)-dimensional Lebesgue measure \(\lambda_k, k=1,\dots,d\). Furthermore, let \(F^{(i)}\)(t):= \(\bf{Pr}\) \(\)(\(\Vert a_i \|_2\leq t\)), \(t \in \mathbb{R}^+_0\) , be the radial distribution function of \(a_i\). We prove that the expectation functional \(\Phi_L\)(\(F^{(1)}, F^{(2)},\dots, F^{(n)})\) := \(E(Vol_L(X)\)) is strictly decreasing in each argument, i.e. if \(F^{(i)}(t) \le G^{(i)}(t)t\), \(t \in {R}^+_0\), but \(F^{(i)} \not\equiv G^{(i)}\), we show \(\Phi\) \((\dots, F^{(i)}, \dots\)) > \(\Phi(\dots,G^{(i)},\dots\)). The proof is clone in the more general framework of continuous and \(f\)- additive polytope functionals.

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Metadaten
Verfasserangaben:Karl-Heinz Küfer
URN (Permalink):urn:nbn:de:hbz:386-kluedo-50479
Schriftenreihe (Bandnummer):Preprints (rote Reihe) des Fachbereich Mathematik (276)
Dokumentart:Bericht
Sprache der Veröffentlichung:Englisch
Veröffentlichungsdatum (online):08.11.2017
Jahr der Veröffentlichung:1996
Veröffentlichende Institution:Technische Universität Kaiserslautern
Datum der Publikation (Server):08.11.2017
Seitenzahl:15
Fachbereiche / Organisatorische Einheiten:Fachbereich Mathematik
DDC-Sachgruppen:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 510 Mathematik
Lizenz (Deutsch):Creative Commons 4.0 - Namensnennung, nicht kommerziell, keine Bearbeitung (CC BY-NC-ND 4.0)